Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\). Trên đường tròn đã cho lấy điểm \(A\) cố định (\(A\) khác \(B\) và \(C\)) và lấy điểm \(D\) thay đổi trên cung nhỏ \(AC\) (\(D\) khác \(A\) và \(C\)). Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\) (\(H\) thuộc \(BC\)). Hai đường thẳng \(BD\) và \(AH\) cắt nhau tại \(I\).

(a) Chứng minh rằng tứ giác \(IHCD\) là tứ giác nội tiếp.

(b) Chứng minh rằng \(A{B^2} = BI \cdot BD\).

(c) Lấy điểm \(M\) trên đoạn thẳng \(BC\) sao cho \(BM = AB\). Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MID\) luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi \(D\) thay đổi trên cung nhỏ \(AC\).

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử vào 10 môn Toán năm 2026 TH, THCS, THPT Nobel School II (Thanh Hóa) tháng 5/2026 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho đường tròn tâm O đường kính BC. Trên đường tròn đã cho lấy điểm A cố định (A khác B và C) và lấy điểm D thay đổi trên cung nhỏ AC (D khác A và C). Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Hai đường thẳng BD và AH cắt nhau tại I. (ảnh 1)

a) Vì \(AH \bot BC\) nên \(\widehat {IHC} = 90^\circ \)

Suy ra \(I,H,C\) thuộc đường tròn đường kính \(IC\).

\(\widehat {BDC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {BDC} = 90^\circ \), tức là \(\widehat {IDC} = 90^\circ \), suy ra \(I,D,C\) thuộc đường tròn đường kính \(IC\).

Vậy tứ giác \(IHCD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(IC\).

b) Ta có: \(\left( 1 \right)\)

\(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) \( \Rightarrow \widehat {BAI} + \widehat {ABC} = 90^\circ \) \(\left( 2 \right)\)

\(\widehat {BAC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 90^\circ \) \(\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\); \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) \( \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {ADB}\)

Xét \(\Delta BAI\) và \(\Delta BDA\) có: \(\widehat {ABD}\) chung; \(\widehat {BAI} = \widehat {ADB}\)

(g-g) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{AB}}\)\( \Rightarrow A{B^2} = BI \cdot BD\)

c) Do \(BM = AB\), mà \(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{AB}}\) nên \(B{M^2} = BI \cdot BD\)\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{BM}}\)

Xét \(\Delta BMI\) và \(\Delta BDM\) có: \(\widehat {DBM}\) chung; \(\frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{BI}}{{BM}}\)

(c-g-c) \( \Rightarrow \widehat {BMI} = \widehat {BDM}\)

\( \Rightarrow BM\) là tiếp tuyến tại \(M\) của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MID\)

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MID\) thuộc đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(M\).

Do \(A\); \(B\); \(C\) cố định nên \(M\) cố định và đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(M\) cố định.

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MID\) luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi \(D\) thay đổi trên cung nhỏ \(AC\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giả sử giá tiền điện hàng tháng được tính theo bậc thang như sau:

Bậc 1: Từ \(1\,{\rm{kWh}}\) đến \(100\,{\rm{kWh}}\) thì giá điện là: \(1500\) đồng/kWh.

Bậc 2: Từ \(101\,{\rm{kWh}}\) đến \(150\,\,{\rm{kWh}}\) thì giá điện là: \(2000{\kern 1pt} \) đồng/kWh.

Bậc 3: Từ \(151\,\,{\rm{kWh}}\) trở lên thì giá điện là: \(4000{\kern 1pt} {\kern 1pt} \)đồng/kWh.

Trong tháng 2 tổng số tiền điện của nhà bạn A và bạn B là \(560\,\,000\) đồng. So với tháng 2 thì tháng 3 tiền điện của nhà bạn A tăng \(30\% \), nhà bạn B tăng \(20\% \), do đó tổng số tiền của cả hai nhà trong tháng 3 là \(701\,\,000\) đồng. Hỏi tháng 2 nhà bạn A phải trả bao nhiêu tiền điện và dùng hết bao nhiêu \({\rm{kWh}}\)? (biết rằng số tiền điện ở trên không tính thuế giá trị gia tăng).

Lời giải

Gọi số tiền điện nhà bạn \(A\) phải trả trong tháng 2 là \[x{\rm{ }}\left( {x > 0} \right)\] (đồng)

Số tiền điện nhà bạn B phải trà trong tháng 2 là \(y \left( {y > 0} \right)\) (đồng)

Theo bài ta có tổng số tiền điện trong tháng 2 nhà bạn \(A\) và nhà bạn \(B\) phải trả là \(560\,\,000\) nên ta có phương trình \(x + y = 560\,\,000\) \(\left( 1 \right)\)

Số tiền điện trong tháng 3 nhà bạn \(A\) phải trả là \(x + 30\% \,x = 1,3\,x\) (đồng)

Số tiền điện trong tháng 3 nhà bạn \(B\) phải trả là: \(y + 20\% \,y = 1,2\,y\) (đồng)

Theo bài ta có tổng số tiền điện trong tháng 3 nhà bạn \(A\) và nhà bạn \(B\) phải trả là \(701{\kern 1pt} \,\,000\)nên ta có phương trình: \(1,3\,x + 1,2\,y = 701{\kern 1pt} \,\,000\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 560\,\,000}\\{1,3x + 1,2y = 701{\kern 1pt} \,\,000}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 290\,\,000}\\{y = 270\,\,000}\end{array}} \right.\)

Vậy số tiền điện nhà bạn \(A\) phải trả trong tháng 2 là \(290\,\,000\) đồng.

Nhận thấy: \(290\,\,000 = 100 \cdot 1500 + 50 \cdot 2000 + 10 \cdot 4000\)

Vậy số điện nhà bạn \(A\) dùng trong tháng 2 là \(100 + 50 + 10 = 160\left( {kWh} \right)\).

Câu 2

Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)\left( {1 - \frac{5}{{\sqrt x + 1}}} \right)\) với \(x > 0;x \ne 1\).

Lời giải

\(P = \left[ {\frac{{(\sqrt x + 1)\sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}} \right]\left( {1 - \frac{5}{{\sqrt x + 1}}} \right)\)

\(P = \frac{{x + \sqrt x + 2\sqrt x + 1 + \sqrt x - 1}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}.\frac{{\sqrt x + 1 - 5}}{{\sqrt x + 1}}\)

\(P = \frac{{x + 4\sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}.\frac{{\sqrt x - 4}}{{\sqrt x + 1}}\)\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\(P = \frac{{x - 16}}{{x - 1}}\)

Câu 3