Người ta muốn làm một vườn rau có dạng hình chữ nhật \(ABCD\) có diện tích \(640{m^2}\), để tạo thêm cảnh quan xung quanh đẹp hơn, người ta mở rộng thêm bốn phần diện tích để trồng hoa, tạo thành một đường tròn đi như hình vẽ, biết tâm hình tròn trùng với giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật. Khi đó chọn kích thước cạnh \(ABCD\) như thế nào để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Độ dài đường kính của đường tròn là đường chéo của hình chữ nhật \(ABCD\),
Vậy biểu thức xác định đường kính của đường tròn là \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
Vậy bán kính của đường tròn là \(\frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{2}\)
Diện tích đường tròn là \(S = \pi .\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4}\)
Diện tích của hình chữ nhật là \({S_{hcn}} = xy = 640\left( {{m^2}} \right)\)
Diện tích phần đất trồng hoa là
\(S' = S - {S_{hcn}} = \pi .\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4} - xy\;\)
Có \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x;y\)
\[ \Rightarrow \]\({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)\[ \Rightarrow \]\({x^2} + {y^2} \ge 2xy\)\[ \Rightarrow \]\(\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4} \ge \frac{{xy}}{2} > 0\)
\[ \Rightarrow \]\(\frac{{\pi \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{4} \ge \frac{{\pi xy}}{2}\)\[ \Rightarrow \]\(\frac{{\pi \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{4} - xy \ge \frac{{\pi xy}}{2} - xy\)
Vậy \(S' \ge \frac{{\pi xy}}{2} - xy\;\)\[ \Rightarrow \]\(S \ge 320\pi - 640\)
Vậy để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất thì \(x = y\)
Khi đó \(x = y = 8\sqrt {10} \) (m)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
\(P = \left[ {\frac{{(\sqrt x + 1)\sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}} \right]\left( {1 - \frac{5}{{\sqrt x + 1}}} \right)\)
\(P = \frac{{x + \sqrt x + 2\sqrt x + 1 + \sqrt x - 1}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}.\frac{{\sqrt x + 1 - 5}}{{\sqrt x + 1}}\)
\(P = \frac{{x + 4\sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}.\frac{{\sqrt x - 4}}{{\sqrt x + 1}}\)\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\(P = \frac{{x - 16}}{{x - 1}}\)
Lời giải
a) Từ công thức \(P = V.D\) ta có \(V = \frac{P}{D}\). Thể tích của khối đồ chơi \(\left( C \right)\) là: \(V = \frac{{448\,}}{{8,96}} = 50\)
Vậy thể tích của khối đồ chơi \(\left( C \right)\) bằng \(50\)\(c{m^3}\).
b) Áp dụng công thức tính thể tích của hình nón \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{l^2} - {r^2}} \) ta có
\[50 = \frac{1}{3}\pi {.5^2}\sqrt {{l^2} - {5^2}} \]
\[\sqrt {{l^2} - 25} = \frac{6}{\pi }\]
\[{l^2} - 25 = \frac{{36}}{{{\pi ^2}}}\]
\[l = \sqrt {\frac{{36}}{{{\pi ^2}}} + 25} \]
Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón \({S_{xq}} = \pi rl\) ta có
\({S_{xq}} = 5\pi \sqrt {\frac{{36}}{{{\pi ^2}}} + 25} \approx 84,07\)
Vậy diện tích bề mặt xung quanh của khối đồ chơi \(\left( C \right)\) hình nón đó là 84,07\(c{m^2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{1}{{10}}\).
B. \[\frac{2}{{15}}\].
C. \(\frac{1}{6}\).
D. \(\frac{1}{5}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập