Một chiếc đu quay hình tròn có chu vi \(470\;\,\,{\rm{m}}{\rm{,}}\) tâm của vòng quay ở độ cao \(80\;\,{\rm{m}}\) so với mặt đất. Thời gian thực hiện mỗi vòng đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin ở vị trí thấp nhất của đu quay thì sau 10 phút người đó có độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất (giả sử đu quay quay đều trong suốt quá trình quay)? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

                                       

a) Đúng. Chu vi đường tròn \[\left( O \right)\] là \(C = 2\pi R = 2\pi  \cdot 8 = 16\pi \,\,({\rm{cm}}).\)

b) Đúng. Độ dài cung nhỏ \[AB\] là: \(\ell  = \frac{{\pi Rn}}{{180}} = \frac{{\pi  \cdot 8 \cdot 120}}{{180}} = \frac{{16}}{3}\pi \,\,({\rm{cm}})\).

c) Sai. Diện tích hình quạt tròn \[AOB\] là: \[S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi  \cdot {8^2} \cdot 120}}{{360}} = \frac{{64}}{3}\pi \,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).\]

d) Sai. Ta có \(\Delta OAB\) là tam giác cân tại \[O\] có \[OA = OB = R\,;\,\,\widehat {AOB} = 120^\circ .\]

Suy ra \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}\sin 30^\circ  \cdot R \cdot \left( {2\cos 30^\circ  \cdot R} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot 8 = 16\sqrt 3 \,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).\)

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi hình quạt tròn \[AOB\] và dây \[AB\] là:

\({S_{AmB}} = {S_{OAmB}} - {S_{OAB}} = \frac{{64}}{3}\pi  - 16\sqrt 3  \approx 39,3\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}).\)

a) Đúng. Vì đường thẳng \(a\) cắt đường tròn \(\left( {O\,;\,\,10\,\,{\rm{cm}}} \right)\) tại hai điểm nên đường thẳng \(a\) là cát tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

b) Đúng. Vì \(M,N\) thuộc đường tròn \[\left( O \right)\] nên \(OM,\,\,ON\) là bán kính đường tròn \[\left( O \right)\].

Suy ra \(OM = ON\) hay \(\Delta OMN\) cân tại \(O\).

c) Sai. Vì \(OH\) vuông góc với \(MN\) tại \(H\) nên \(H\) là trung điểm của \(MN\) (quan hệ giữa đường kính và dây).

Khi đó \(NH = \frac{{MN}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\,\,({\rm{cm)}}{\rm{.}}\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(OHN\) vuông tại \(H\), ta có: \(N{O^2} = H{N^2} + O{H^2}.\)

Suy ra \(O{H^2} = N{O^2} - H{N^2} = {10^2} - {8^2} = 36\).

Do đó \(OH = 6\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Đúng. Ta có: \(OK = ON = OM\) (bán kính đường tròn \[\left( O \right))\].

Suy ra \(OM = \frac{1}{2}KN\), nên tam giác \(MKN\) vuông tại \(M\).

Khi đó \(KM\)vuông góc với \(MN\).

Mà \(OH\)vuông góc với \(MN\) nên \[OH\,{\rm{//}}\,KM.\]

Xét tam giác \(MKN\) có \(OH\,{\rm{//}}\,KM\) và \(OK = ON\).

Do đó \(OH\) là đường trung bình của \(\Delta KMN\).

Suy ra \(OH = \frac{1}{2}KM\) hay \(\frac{1}{2}KM = 6\,\,{\rm{cm}}\). Do đó \(KM = 12\,\,{\rm{cm}}\).