Một cây cầu vòm sắt một nhịp có dạng cung tròn dài \(AB = 100\;\,{\rm{m}}\) được thiết kế bằng vòm thép nhồi bê tông. Khoảng cách điểm cao nhất của mái vòm xuống mặt sàn của cầu là \(MH = 40\,\;{\rm{m}}\) (được mô phỏng hình vẽ dưới). Biết bán kính \[R\] của đường tròn chứa cung tròn là nhịp giữa của cầu. Tính độ dài bán kính \[R\] theo đơn vị mét (làm tròn đến hàng đơn vị).

                              

Khoảng thời gian lớn nhất mà sóng truyền hình đi từ đài phát đến một điểm trên mặt Trái Đất tương ứng với thời gian sóng truyền từ điểm \(D\) đến \(A\) sau đó từ \(A\) về \(B\).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) (định lí Pythagore).

Suy ra \(AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {6\,\,400 + 36\,\,600} \right)}^2} - 6\,\,{{400}^2}} \)

\( = \sqrt {1\,\,808\,\,040\,\,000} \,\,({\rm{km}})\)

\[ = \sqrt {1\,\,808\,\,040\,\,000}  \cdot {10^3}\,\,({\rm{m}}).\]

Thời gian sóng truyền từ \(D\) đến \(A\) là: \[\frac{{36\,\,600\,\,000}}{{3 \cdot {{10}^8}}} = \frac{{61}}{{500}}\] (giây).

Thời gian sóng truyền từ \(A\) đến \(B\) là: \(\frac{{\sqrt {1\,\,808\,\,040\,\,000}  \cdot {{10}^3}}}{{3 \cdot {{10}^8}}}\) (giây).

Khoảng thời gian lớn nhất mà sóng truyền hình đi từ đài phát đến một điểm trên mặt Trái Đất là:

\[\frac{{61}}{{500}} + \frac{{\sqrt {1\,\,808\,\,040\,\,000}  \cdot {{10}^3}}}{{3 \cdot {{10}^8}}} \approx 0,26\] (giây).

Vậy khoảng thời gian lớn nhất mà sóng truyền hình đi từ đài phát đến một điểm trên mặt Trái Đất là khoảng \[0,26\] giây.

Đáp án: 0,26.

Bán kính của đu quay là: \[C = 2\pi R\] nên \[R = \frac{C}{{2\pi }} = \frac{{470}}{{2\pi }} = \frac{{235}}{\pi }\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\]

Xét cabin tại điểm \[A\] (vị trí thấp nhất của đu quay); \[C\] là vị trí của cabin sau 10 phút.

Gọi \[N\] là hình chiếu của \[C\] trên mặt đất. Kẻ \[OB\] vuông góc \[CN\] tại \[B.\]

Vì thời gian thực hiện mỗi vòng quay là 30 phút nên với thời gian 10 phút đu quay sẽ quay được với góc quét \(\frac{{360^\circ }}{{30}} \cdot 10 = 120^\circ .\)

Ta có \(\widehat {BOC} = 120^\circ  - 90^\circ  = 30^\circ .\)

Xét \(\Delta BOC\) vuông tại \(B\), ta có: \(\sin \widehat {BOC} = \frac{{CB}}{{OC}}.\)

Suy ra \(CB = OC \cdot \sin \widehat {BOC} = \frac{{235}}{\pi } \cdot \sin 30^\circ  = \frac{{117,5}}{\pi }\,\,({\rm{m)}}.\)

Tứ giác \[OBNM\] là hình chữ nhật nên \(OM = BN = 80\,\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Ta có: \(CN = BN + CB = 80 + \frac{{117,5}}{\pi } \approx 117\;\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\)

Vậy sau 10 phút người đó ở độ cao khoảng \[117\,\,\;{\rm{m}}\] so với mặt đất.

Đáp án: 117.