Một vệ tinh thông tin (vệ tinh địa tĩnh) chuyển động trên quỹ đạo tròn ngay phía trên xích đạo của Trái Đất, quay cùng hướng và cùng chu kì tự quay của Trái Đất ở độ cao \[36\,\,600{\rm{ km}}\] so với đài phát trên mặt đất. Đài phát nằm trên đường thẳng nối vệ tinh và tâm Trái Đất. Ta xem Trái Đất là một hình cầu có bán kính \[6\,\,400{\rm{ km}}.\] Vệ tinh nhận sóng truyền hình từ đài phát rồi phát lại tức thời tín hiệu đó về Trái Đất. Tốc độ truyền sóng là \(3 \cdot {10^8}\;\,{\rm{m}}/{\rm{s}}{\rm{.}}\) Tính khoảng thời gian lớn nhất mà sóng truyền hình đi từ đài phát đến một điểm trên mặt Trái Đất, với hình minh hoạ bên dưới (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

                    

Bán kính của đu quay là: \[C = 2\pi R\] nên \[R = \frac{C}{{2\pi }} = \frac{{470}}{{2\pi }} = \frac{{235}}{\pi }\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\]

Xét cabin tại điểm \[A\] (vị trí thấp nhất của đu quay); \[C\] là vị trí của cabin sau 10 phút.

Gọi \[N\] là hình chiếu của \[C\] trên mặt đất. Kẻ \[OB\] vuông góc \[CN\] tại \[B.\]

Vì thời gian thực hiện mỗi vòng quay là 30 phút nên với thời gian 10 phút đu quay sẽ quay được với góc quét \(\frac{{360^\circ }}{{30}} \cdot 10 = 120^\circ .\)

Ta có \(\widehat {BOC} = 120^\circ  - 90^\circ  = 30^\circ .\)

Xét \(\Delta BOC\) vuông tại \(B\), ta có: \(\sin \widehat {BOC} = \frac{{CB}}{{OC}}.\)

Suy ra \(CB = OC \cdot \sin \widehat {BOC} = \frac{{235}}{\pi } \cdot \sin 30^\circ  = \frac{{117,5}}{\pi }\,\,({\rm{m)}}.\)

Tứ giác \[OBNM\] là hình chữ nhật nên \(OM = BN = 80\,\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Ta có: \(CN = BN + CB = 80 + \frac{{117,5}}{\pi } \approx 117\;\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\)

Vậy sau 10 phút người đó ở độ cao khoảng \[117\,\,\;{\rm{m}}\] so với mặt đất.

Đáp án: 117.

a) Đúng. Vì đường thẳng \(a\) cắt đường tròn \(\left( {O\,;\,\,10\,\,{\rm{cm}}} \right)\) tại hai điểm nên đường thẳng \(a\) là cát tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

b) Đúng. Vì \(M,N\) thuộc đường tròn \[\left( O \right)\] nên \(OM,\,\,ON\) là bán kính đường tròn \[\left( O \right)\].

Suy ra \(OM = ON\) hay \(\Delta OMN\) cân tại \(O\).

c) Sai. Vì \(OH\) vuông góc với \(MN\) tại \(H\) nên \(H\) là trung điểm của \(MN\) (quan hệ giữa đường kính và dây).

Khi đó \(NH = \frac{{MN}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\,\,({\rm{cm)}}{\rm{.}}\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(OHN\) vuông tại \(H\), ta có: \(N{O^2} = H{N^2} + O{H^2}.\)

Suy ra \(O{H^2} = N{O^2} - H{N^2} = {10^2} - {8^2} = 36\).

Do đó \(OH = 6\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Đúng. Ta có: \(OK = ON = OM\) (bán kính đường tròn \[\left( O \right))\].

Suy ra \(OM = \frac{1}{2}KN\), nên tam giác \(MKN\) vuông tại \(M\).

Khi đó \(KM\)vuông góc với \(MN\).

Mà \(OH\)vuông góc với \(MN\) nên \[OH\,{\rm{//}}\,KM.\]

Xét tam giác \(MKN\) có \(OH\,{\rm{//}}\,KM\) và \(OK = ON\).

Do đó \(OH\) là đường trung bình của \(\Delta KMN\).

Suy ra \(OH = \frac{1}{2}KM\) hay \(\frac{1}{2}KM = 6\,\,{\rm{cm}}\). Do đó \(KM = 12\,\,{\rm{cm}}\).