Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

a) Xét tứ giác , có:

thuộc đường tròn đường kính

thuộc đường tròn đường kính .

Do đó bốn điểm thuộc đường tròn đường kính .

Vậy bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét có là đường trung tuyến ứng với cạnh và Suy ra vuông tại \[C.\]

Xét và có (vì ).

Xét tam giác vuông có: nên .

Suy ra: (cùng phụ ).

Suy ra:

Do đó: , suy ra: .

Vì \(AM \bot d\,;\,\,OC \bot d\) nên \[AM\,{\rm{//}}\,OC\] suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\).

Ta có suy ra cân tại O

Suy ra \(\widehat {CAO} = \widehat {ACO}\) mà \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\) nên \(\widehat {CAO} = \widehat {MAC}\)

Xét và có

là cạnh chung

Suy ra \(\Delta AMC = \Delta AHC\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra

Tương tự ta cũng chứng minh được \(\Delta HCB = \Delta CNB\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra

Suy ra

Ta có

Suy ra \(AM.BN \le {R^2}\) nên \[Max\left( {AM \cdot BN} \right) = {R^2}\,\]

Khi vuông cân tại .

Khi đó là điểm chính giữa cung AB.

Vậy lớn nhất khi là điểm chính giữa cung .

Thuế phụ thu trên sản phẩm bán được là (nghìn đồng).

Khi đó lợi nhuận của doanh nghiệp là

\(L\left( x \right) = - 2\left[ {{x^2} - 2 \cdot \frac{{568 - t}}{4} \cdot x + {{\left( {\frac{{568 - t}}{4}} \right)}^2}} \right] + 1209\, + \frac{{{{\left( {568 - t} \right)}^2}}}{8}\,\,\,\,\)

\( = - 2{\left( {x - \frac{{568 - t}}{4}} \right)^2} + 1209\, + \frac{{{{\left( {568 - t} \right)}^2}}}{8}.\)

Suy ra giá trị lớn nhất lợi nhuận của doanh nghiệp đạt được khi . Khi đó thuế phụ thu là:

.

Vậy thuế phụ thu đạt giá trị lớn nhất khi (nghìn đồng) (TM).