Một xe ô tô cần chạy quãng đường trong thời gian đã dự định. Vì trời mưa nên một phần tư quãng đường đầu tiên xe phải chạy chậm hơn vận tốc dự định là nên quãng đường còn lại xe phải chạy nhanh hơn vận tốc dự định là . Tính thời gian dự định của xe ô tô để đi hết quãng đường.

a) Xét tứ giác , có:

thuộc đường tròn đường kính

thuộc đường tròn đường kính .

Do đó bốn điểm thuộc đường tròn đường kính .

Vậy bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét có là đường trung tuyến ứng với cạnh và Suy ra vuông tại \[C.\]

Xét và có (vì ).

Xét tam giác vuông có: nên .

Suy ra: (cùng phụ ).

Suy ra:

Do đó: , suy ra: .

Vì \(AM \bot d\,;\,\,OC \bot d\) nên \[AM\,{\rm{//}}\,OC\] suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\).

Ta có suy ra cân tại O

Suy ra \(\widehat {CAO} = \widehat {ACO}\) mà \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\) nên \(\widehat {CAO} = \widehat {MAC}\)

Xét và có

là cạnh chung

Suy ra \(\Delta AMC = \Delta AHC\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra

Tương tự ta cũng chứng minh được \(\Delta HCB = \Delta CNB\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra

Suy ra

Ta có

Suy ra \(AM.BN \le {R^2}\) nên \[Max\left( {AM \cdot BN} \right) = {R^2}\,\]

Khi vuông cân tại .

Khi đó là điểm chính giữa cung AB.

Vậy lớn nhất khi là điểm chính giữa cung .

Thuế phụ thu trên sản phẩm bán được là (nghìn đồng).

Khi đó lợi nhuận của doanh nghiệp là

\(L\left( x \right) = - 2\left[ {{x^2} - 2 \cdot \frac{{568 - t}}{4} \cdot x + {{\left( {\frac{{568 - t}}{4}} \right)}^2}} \right] + 1209\, + \frac{{{{\left( {568 - t} \right)}^2}}}{8}\,\,\,\,\)

\( = - 2{\left( {x - \frac{{568 - t}}{4}} \right)^2} + 1209\, + \frac{{{{\left( {568 - t} \right)}^2}}}{8}.\)

Suy ra giá trị lớn nhất lợi nhuận của doanh nghiệp đạt được khi . Khi đó thuế phụ thu là:

.

Vậy thuế phụ thu đạt giá trị lớn nhất khi (nghìn đồng) (TM).