Cho hai biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 1}}\) và \(B = \frac{{x + 3}}{{x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).

b) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\).

c) Tìm các giá trị nguyên dương của \(x\) để biểu thức \(A - 2B\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi số lượng xe đội dự định điều lúc đầu là \(x\) (xe) (\(x \in {\mathbb{N}^*}\),\(x \le 15\))

Số tấn hàng mỗi xe phải chở theo dự định lúc đầu là \(\frac{{40}}{x}\) (tấn)

Do thực tế đội điều thêm \(2\) xe nên số tổng số xe là \(x + 2\) (xe)

Vì khi sắp khởi hành, đội được giao thêm \(14\) tấn hàng nữa nên số tấn hàng phải giao thực tế là \(40 + 14 = 54\) (tấn)

Số tấn hàng mỗi xe phải chở thực tế là \(\frac{{54}}{{x + 2}}\) (tấn)

Vì mỗi xe phải chở thêm \(0,5\) tấn hàng so với dự định ban đầu nên ta có phương trình:

\(\frac{{54}}{{x + 2}} - \frac{{40}}{x} = 0,5\)

\(\frac{{54x - 40\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{{14x - 80}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\)

\(28x - 160 = {x^2} + 2x\)

\({x^2} - 26x + 160 = 0\)

\({x^2} - 10x - 16x + 160 = 0\)

\(x\left( {x - 10} \right) - 16\left( {x - 10} \right) = 0\)

\(\left( {x - 10} \right)\left( {x - 16} \right) = 0\)

Th1: \(x - 10 = 0\)

\(x = 10\) (thỏa mãn)

TH2: \(x - 16 = 0\)

\(x = 16\) (loại)

Vậy số lượng xe đội dự định điều lúc đầu là \(10\) xe.

Bán kính đáy của cốc giấy là \(R = 8:2 = 4\;\left( {cm} \right)\)

Diện tích mặt đáy của cốc là

\({S_1} = \pi {R^2} \approx {3,14.4^2} = 50,24\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích xung quanh mặt trong cốc là

\({S_2} = 2\pi Rh \approx 2.3,14.4.18 = 452,16\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Tổng diện tích màng PE cần tráng là

\(S = {S_1} + {S_2} \approx 50,24 + 452,16 = 502,4\,\left( {c{m^2}} \right)\)

b)  Bán kính mỗi viên trân châu là \(r = 12:2 = 6\;\left( {mm} \right) = 0,6\;\left( {cm} \right)\)

Tổng thể tích của 50 viên trân châu là:

\(V = 50.\frac{4}{3}\pi {r^3} = 50.\frac{4}{3}\pi {\left( {0,6} \right)^3} = 14,4\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\)

Gọi \({h_1}\) là chiều cao của mực sữa dâng thêm.

Vì thể tích sữa dâng thêm bằng tổng thể tích trân châu nên ta có

\(\pi {R^2}{h_1} = 14,4\pi \)

\(\pi {4^2}{h_1} = 14,4\pi \)

\({h_1} = 0,9\;\left( {cm} \right)\)

Vậy lượng sữa cao thêm \(0,9\;\left( {cm} \right)\).