(4,0 điểm)

Một cốc nước có dạng hình trụ với đường kính đáy bằng 8 cm, chiều cao 14 cm và đang chứa lượng nước cao 11 cm (Lấy \(\pi  \approx 3,14\), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

a) Tính lượng nước đang có trong cốc.

b) Người ta thả 6 viên bi bằng thép đặc giống nhau (không thấm nước) có đường kính mỗi viên bi là 2 cm vào trong cốc. Hỏi nước có bị tràn ra ngoài không? (Giả sử độ dày của thành cốc không đáng kể và bi chìm hoàn toàn trong nước).

a) Xét \(\Delta IOD\) có \(\widehat {IOD} = 90^\circ \) (giả thiết) nên 3 điểm \(I,\,\,O,\,\,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(ID\) (1).

Xét \(\Delta IED\) có \(\widehat {IED} = \widehat {CED} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên 3 điểm \(I,\,\,E,\,\,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(ID\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm \(O,\,\,I,\,\,E,\,\,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(ID\).

Vậy tứ giác \(OIED\) nội tiếp đường tròn đường kính \(ID\) với tâm là trung điểm \(ID\).

b) * Ta có \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(AB\)).

Xét \(\Delta AOH\) và \(\Delta AEB\) có \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {HAO}\,\,{\rm{chung}}\\\widehat {AOH} = \widehat {AEB} = 90^\circ \end{array} \right.\) nên \(\Delta AOH\) đồng dạng \(\Delta AEB\).

Suy ra \(\frac{{AO}}{{AE}} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{OH}}{{EB}} \Rightarrow AH.AE = AO.AB = R.2R = 2{R^2}\) (điều phải chứng minh).

Ta có \(\widehat {AEC} = \widehat {BEC}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau) nên \(IE\) là phân giác \(\widehat {AEB}\).

Mặt khác \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) do \(\widehat {AEB}\) chắn nửa đường tròn đường kính \(AB\).  Khi đó \(\widehat {AEC} = 45^\circ \) (4).

Gọi \(OF\) là tia đối của \(OE\).

Ta có \(\widehat {AOF} = 2\widehat {AEF}\); \(\widehat {COF} = 2\widehat {CEF}\) nên \(\widehat {AOC} = 2\widehat {AEC}\).

Trong \(\Delta OAH\) vuông tại \(O\) ta có \(\tan \widehat {OAH} = \frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{EB}}{{AE}} = \frac{{IB}}{{IA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow OA = 3OH\)

c) Ta có \(K\) là trung điểm \(BD\).

Mặt khác \(H = AK \cap OD\) nên \(H\) là trọng tâm \(\Delta ABD\). Khi đó ba điểm \(A,\,\,H,\,\,K\) thẳng hàng.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BQ\\BD \bot AQ\end{array} \right.\) nên \(K\) là trực tâm \(\Delta ABQ\). Suy ra \(QK \bot BD\).

Do \(IK\,//\,OD \Rightarrow IK \bot AB\). Suy ra ba điểm \(Q\), \(K\), \(I\) thẳng hàng.