(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \({\rm{A}} = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }}\) và \({\rm{B}} = \left( {\frac{{x + 3}}{{x - 9}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 3}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0,x \ne 9\).

a) Tính giá trị của A khi \(x = \frac{1}{{16}}\).

b) Rút gọn biểu thức \(B\).

c) Cho biểu thức \(T = A \cdot B\), tìm giá trị nguyên lớn nhất của x thỏa mãn \(2\;T > \sqrt {5\;T} \).

a) Khi   ta có \(\sqrt x  = \sqrt {\frac{1}{{16}}}  = \frac{1}{4}\). Thay \(x = \frac{1}{{16}}\)(TMĐK) vào biểu thức \(A\) ta có:

\(A = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{16}}}  + 3}}{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} }} = \frac{{\frac{{13}}{4}}}{{\frac{1}{4}}} = 13\)

Vậy \(A = 13\).

b) \({\rm{B}} = \left( {\frac{{x + 3}}{{x - 9}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 3}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }}\)

\[ = \left[ {\frac{{x + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}} \right] \cdot \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }}\]

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }}\)
\( = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}}\).
c)  \(T = A \cdot B = \left( {\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }}} \right) \cdot \left( {\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}}} \right) = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)

Vì \(x > 0\), ta có \(T > 1\), nên \(2T > 0\)và \(5T > 0\).

\(2T > \sqrt {5T} \):

\(4{T^2} > 5T\)

\(4{T^2} - 5T > 0\)

 \(T\left( {4T - 5} \right) > 0\)

Do \(T > 0\), ta phải có \(4T - 5 > 0\)

 \(T > \frac{5}{4}\)

\(\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} > \frac{5}{4}\)

\(1 + \frac{1}{{\sqrt x }} > \frac{5}{4}\)

\(\frac{1}{{\sqrt x }} > \frac{1}{4}\)

\(\sqrt x  < 4\)

\(x < 16\)

Kết hợp với điều kiện xác định \(x > 0,x \ne 9\), ta có \(0 < x < 16\)và \(x \ne 9\).

Giá trị nguyên lớn nhất của \(x\)thỏa mãn là \(x = 15\).

Vậy \(x = 15\).