(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \({\rm{A}} = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }}\) và \({\rm{B}} = \left( {\frac{{x + 3}}{{x - 9}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 3}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0,x \ne 9\).

a) Tính giá trị của A khi \(x = \frac{1}{{16}}\).

b) Rút gọn biểu thức \(B\).

c) Cho biểu thức \(T = A \cdot B\), tìm giá trị nguyên lớn nhất của x thỏa mãn \(2\;T > \sqrt {5\;T} \).

Gọi \(x\)là số lần cửa hàng giảm giá 10 000 đồng (với \(x\)là số nguyên không âm).

Giá bán mỗi đôi (\(P\)): \(P = 1\;500\;000 - 10\;000x\)

Số lượng bán ra mỗi tháng (\(Q\)): \(Q = 100 + 5x\)

Chi phí nhập mỗi đôi (\(C\)): \(C = 1\;100\;000\) đồng.

Số lượng bán ra không vượt quá 140 đôi: suy ra \(x \le 8\)

Lợi nhuận mỗi đôi: \({L_{pair}} = P - C = \left( {1\;500\,000 - 10\;000x} \right) - 1100\;000 = 400\;000 - 10\;000x\)

Tổng lợi nhuận:

\[L\left( x \right) = L \cdot Q = \left( {400\,000 - 10\,000x} \right)\left( {100 + 5x} \right)\]
\(L\left( x \right) = 10\,000\left( {40 - x} \right) \cdot 5\left( {20 + x} \right) = 50\,000\left( {40 - x} \right)\left( {20 + x} \right)\)
\(L\left( x \right) = 50,000\left( { - {x^2} + 20x + 800} \right)\)

\(L\left( x \right) =  - 50\,000\left( {{x^2} - 20x + 100 - 900} \right)\)

\(L\left( x \right) =  - 50\,000\left[ {{{\left( {x - 10} \right)}^2} - 900} \right]\)

Vì \({\left( {x - 10} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \(L\left( x \right) \le 45\,000\,000\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 10\)

Mà \(x \le 8\) suy ra \(x = 8\)

Giá bán 1 đôi giày là \(P = 1\;500\;000 - 10\;000 \cdot 8 = 1\;500\;000 - 80\;000 = 1\;420\;000\)

Vậy cửa hàng nên bán mỗi đôi giày với giá 1 420 000 đồng để đạt lợi nhuận lớn nhất.

Gọi số mét khối nước mỗi giờ máy bơm bơm được theo kế hoạch là \(x\) (\({{\rm{m}}^3}\), với \(x \le 50\)).

Theo kế hoạch thời gian để bơm đầy bể là:  \(\frac{{50}}{x}\) (giờ).

Người công nhân vận hành máy đã cho máy bơm hoạt động với công suất tăng thêm \(5{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\) nước mỗi giờ nên thực tế mỗi giờ máy bơm đã bơm được \(x + 5\) (\({{\rm{m}}^3}\))

Thời gian thực tế để bơm đầy bể là: \(\frac{{50}}{{x + 5}}\) (giờ)

Đổi: 1 giờ 40 phút \( = \frac{5}{3}\) giờ

Thực tế đã bơm đầy bể sớm hơn quy định là 1 giờ 40 phút nên ta có phương trình:

\(\frac{{50}}{x} - \frac{{50}}{{x + 5}} = \frac{5}{3}\)

\(\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{{x + 5}} = \frac{1}{3}\)

\(10\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 5}}} \right) = \frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 5}} = \frac{1}{{30}}\)

\(\frac{{x + 5 - x}}{{{x^2} + 5x}} = \frac{1}{{30}}\)

Suy ra: \({x^2} + 5x - 150 = 0\)

Suy ra: \(x = 10\) (thoả mãn) hoặc \(x =  - 15\) (loại)

Vậy theo kế hoạch, mỗi giờ máy bơm bơm được 10 m³ nước.