(2,5 điểm)

Một máy bơm theo kế hoạch phải bơm đầy nước vào một bể có chứa dung tích \(50{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\) trong một thời gian nhất định. Người công nhân vận hành máy đã cho máy bơm hoạt động với công suất tăng thêm \(5{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\) nước mỗi giờ nên đã bơm đầy bể sớm hơn quy định là 1 giờ 40 phút. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ máy bơm phải bơm được bao nhiêu \({{\rm{m}}^3}\)nước? (Biết rằng số \({{\rm{m}}^3}\) nước bơm được trong mỗi giờ là như nhau)

Gọi \(x\) (học sinh) là số học sinh lớp 9 đăng ký vào trường THPT Việt Ba năm học 2025 - 2026.

Gọi \(y\) (học sinh) là số học sinh lớp 9 đăng ký vào trường THPT Ngô Thì Nhậm năm học 2025 - 2026.

(Điều kiện: \(x,y \in \mathbb{N}{\rm{*}}\) và \(x,y < 2000\))*

Tổng số học sinh đăng ký vào hai trường năm học 2025 - 2026 là 2000 em, ta có phương trình: \(x + y = 2000\quad (1)\)

Số học sinh dự kiến đăng ký vào năm học 2026 - 2027:

Trường Việt Ba tăng 20%, tức là: \(x + 20\% x = 1,2x\)

Trường Ngô Thì Nhậm tăng 15%, tức là: \(y + 15\% y = 1,15y\)

Tổng số học sinh cả hai trường năm 2026 - 2027 là 2360 em, ta có phương trình:
\(1,2x + 1,15y = 2360\quad (2)\)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 2000}\\{1,2x + 1,15y = 2360}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (1), ta rút ra: \(y = 2000 - x\). Thay vào phương trình (2):

\(1,2x + 1,15(2000 - x) = 2360\)

\(1,2x + 2300 - 1,15x = 2360\)

\(0,05x = 2360 - 2300\)

\(0,05x = 60\)

\(x = \frac{{60}}{{0,05}} = 1200\)

Thay \(x = 1200\) vào phương trình (1):

\(1200 + y = 2000 \Rightarrow y = 800\)

Đối chiếu với điều kiện, ta thấy \(x = 1200\) và \(y = 800\) đều thỏa mãn.

Vậy trong năm học 2025 - 2026:

Số học sinh đăng ký vào trường THPT Việt Ba là 1200 em.

Số học sinh đăng ký vào trường THPT Ngô Thì Nhậm là 800 em.

Phương trình (1): \({x^2} - (m + 1)x + m = 0\) có các hệ số: \(a = 1,b =  - (m + 1),c = m\).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\), ta cần điều kiện \(\Delta  > 0\):

\(\Delta  = {[ - (m + 1)]^2} - 4 \cdot 1 \cdot m = {m^2} + 2m + 1 - 4m = {m^2} - 2m + 1 = {(m - 1)^2}\)

Để \(\Delta  > 0 \Rightarrow {(m - 1)^2} > 0 \Rightarrow m \ne 1\).

Theo định lý Vi-ét, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 1}\\{{x_1}{x_2} = m}\end{array}} \right.\)

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm là:

\(x = 1\) và \[x = \frac{c}{a} = m\]

Vì đề bài cho \({x_1} < {x_2}\), nên sẽ có hai trường hợp xảy ra:

TH1: \({x_1} = m,{x_2} = 1\) (khi \(m < 1\))

TH2: \({x_1} = 1,{x_2} = m\) (khi \(m > 1\))

Ta có bất phương trình: \(x_1^2{x_2} - {x_1}x_2^2 - 2x_1^2 + 2x_2^2 > 0\)

Nhóm các hạng tử để phân tích thành nhân tử:

\(\left( {x_1^2{x_2} - {x_1}x_2^2} \right) + \left( {2x_2^2 - 2x_1^2} \right) > 0\)

\({x_1}{x_2}({x_1} - {x_2}) + 2({x_2} - {x_1})({x_2} + {x_1}) > 0\)

\( - {x_1}{x_2}({x_2} - {x_1}) + 2({x_2} - {x_1})({x_2} + {x_1}) > 0\)

\(({x_2} - {x_1}) \cdot \left[ { - {x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2})} \right] > 0\)

Vì theo giả thiết \({x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_2} - {x_1} > 0\). Do đó, ta chỉ cần:

\( - {x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) > 0\)

Thay \({x_1} + {x_2} = m + 1\) và \({x_1}{x_2} = m\) vào bất phương trình vừa rút gọn:

\( - m + 2(m + 1) > 0\)

\( - m + 2m + 2 > 0\)

\(m + 2 > 0 \Rightarrow m >  - 2\)

Kết hợp với điều kiện ban đầu để có hai nghiệm phân biệt (\(m \ne 1\)):

Vậy giá trị \(m\) cần tìm là \(m >  - 2\) và \(m \ne 1\).