Biết rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 \le 0}\\{x - y + 4 \ge 0}\\{y \ge 0}\\{y - \frac{a}{b} \le 0}\end{array}} \right.\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản là một miền tứ giác có diện tích bằng \(\frac{{80}}{9}\). Tính tổng \(a + b\).
Biết rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 \le 0}\\{x - y + 4 \ge 0}\\{y \ge 0}\\{y - \frac{a}{b} \le 0}\end{array}} \right.\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản là một miền tứ giác có diện tích bằng \(\frac{{80}}{9}\). Tính tổng \(a + b\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 \le 0}\\{x - y + 4 \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}\,\,\left( 1 \right)} \right.\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là miền trong của tam giác \(ABC\) (kể cả bờ) trong đó \(A\left( {0;4} \right)\), \(B\left( { - 4;0} \right)\) và \(C\left( {4;0} \right)\), và tam giác \(ABC\) có diện tích là \(16\).
Để miền nghiệm của hệ bất phương trình ban đầu là một miền tứ giác thì đường thẳng \(y = \frac{a}{b}\) phải cắt hai cạnh \(AB\) và \(AC\), tức là \(0 < y = \frac{a}{b} < 4\).
Khi đó, miền nghiệm của bất phương trình được là hình thang \(BCC{\rm{'}}B{\rm{'}}\) (với \(B{\rm{'}},C{\rm{'}}\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(y = \frac{a}{b}\) với \(AB\) và \(AC\)).
Đặt \(k\) là tỉ số đồng dạng giữa tam giác \(AB{\rm{'}}C{\rm{'}}\) và tam giác \(ABC\).
Khi đó: \({S_{BCC{\rm{'}}B{\rm{'}}}} = {S_{ABC}} - {S_{AB{\rm{'}}C{\rm{'}}}} = {S_{ABC}} - {k^2}{S_{ABC}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{80}}{9} = 16 - 16{k^2} \Rightarrow 16{k^2} = 16 - \frac{{80}}{9} = \frac{{64}}{9} \Rightarrow {k^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow k = \frac{2}{3}\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\), suy ra khoảng cách từ \(A\) đến \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) là \(AH\), và khoảng cách từ \(A\) đến \(BC\) là \(AO = 4\).
Ta có: \(\frac{{AH}}{{AO}} = k = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AO - OH}}{{AO}} = 1 - \frac{{OH}}{{AO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{OH}}{{AO}} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow OH = \frac{1}{3}AO = \frac{4}{3}\).
Vì đường thẳng \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) có phương trình \(y = \frac{a}{b}\) nên khoảng cách từ nó đến trục hoành chính là \(OH = \frac{a}{b} = \frac{4}{3}\).
Do \(a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\frac{4}{3}\) là phân số tối giản nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = 3}\end{array}} \right.\).
Vậy \(a + b = 4 + 3 = 7\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Chọn C
Mô hình hóa bài toán bằng tam giác \(ABC\) với \(A\) là vị trí máy bay, \(B\) và \(C\) là vị trí hai người điều khiển, \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên \(BC\).
Ta có: \(\hat A = {180^ \circ } - \left( {{{40}^ \circ } + {{35}^ \circ }} \right) = {105^ \circ }\)
Sử dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\):
\(\frac{{AC}}{{{\rm{sin}}{{40}^ \circ }}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}{{105}^ \circ }}} \Leftrightarrow AC = \frac{{1000 \times {\rm{sin}}{{40}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{105}^ \circ }}} \approx 665,46{\rm{\;ft}}\)
Trong tam giác vuông \(AIC\), độ cao \(h\) bằng:
\(h = AI = AC \cdot {\rm{sin}}{35^ \circ } \approx 665,46 \cdot {\rm{sin}}{35^ \circ } \approx 382{\rm{\;ft}}\).
Câu 2
Lời giải
a) Đúng. Hàm số xác định trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\).
b) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\).
c) Sai. Vì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành, tập giá trị của hàm số đã cho là đoạn \(\left[ {1;5} \right]\).
d) Đúng. Do hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\) nên \(f\left( 2 \right) < f\left( 3 \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
![Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/06/picture7-1780665560.png)
A. \(\left( { - 2; - 1} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập