Biết rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 \le 0}\\{x - y + 4 \ge 0}\\{y \ge 0}\\{y - \frac{a}{b} \le 0}\end{array}} \right.\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản là một miền tứ giác có diện tích bằng \(\frac{{80}}{9}\). Tính tổng \(a + b\).
Biết rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 \le 0}\\{x - y + 4 \ge 0}\\{y \ge 0}\\{y - \frac{a}{b} \le 0}\end{array}} \right.\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản là một miền tứ giác có diện tích bằng \(\frac{{80}}{9}\). Tính tổng \(a + b\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 \le 0}\\{x - y + 4 \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}\,\,\left( 1 \right)} \right.\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là miền trong của tam giác \(ABC\) (kể cả bờ) trong đó \(A\left( {0;4} \right)\), \(B\left( { - 4;0} \right)\) và \(C\left( {4;0} \right)\), và tam giác \(ABC\) có diện tích là \(16\).
Để miền nghiệm của hệ bất phương trình ban đầu là một miền tứ giác thì đường thẳng \(y = \frac{a}{b}\) phải cắt hai cạnh \(AB\) và \(AC\), tức là \(0 < y = \frac{a}{b} < 4\).
Khi đó, miền nghiệm của bất phương trình được là hình thang \(BCC{\rm{'}}B{\rm{'}}\) (với \(B{\rm{'}},C{\rm{'}}\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(y = \frac{a}{b}\) với \(AB\) và \(AC\)).
Đặt \(k\) là tỉ số đồng dạng giữa tam giác \(AB{\rm{'}}C{\rm{'}}\) và tam giác \(ABC\).
Khi đó: \({S_{BCC{\rm{'}}B{\rm{'}}}} = {S_{ABC}} - {S_{AB{\rm{'}}C{\rm{'}}}} = {S_{ABC}} - {k^2}{S_{ABC}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{80}}{9} = 16 - 16{k^2} \Rightarrow 16{k^2} = 16 - \frac{{80}}{9} = \frac{{64}}{9} \Rightarrow {k^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow k = \frac{2}{3}\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\), suy ra khoảng cách từ \(A\) đến \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) là \(AH\), và khoảng cách từ \(A\) đến \(BC\) là \(AO = 4\).
Ta có: \(\frac{{AH}}{{AO}} = k = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AO - OH}}{{AO}} = 1 - \frac{{OH}}{{AO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{OH}}{{AO}} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow OH = \frac{1}{3}AO = \frac{4}{3}\).
Vì đường thẳng \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) có phương trình \(y = \frac{a}{b}\) nên khoảng cách từ nó đến trục hoành chính là \(OH = \frac{a}{b} = \frac{4}{3}\).
Do \(a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\frac{4}{3}\) là phân số tối giản nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = 3}\end{array}} \right.\).
Vậy \(a + b = 4 + 3 = 7\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
a) Đúng. Hàm số xác định trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\).
b) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\).
c) Sai. Vì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành, tập giá trị của hàm số đã cho là đoạn \(\left[ {1;5} \right]\).
d) Đúng. Do hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\) nên \(f\left( 2 \right) < f\left( 3 \right)\).
Lời giải
Đáp án:
Đáp số: -1
Áp dụng định lý cosin cho tam giác \(ABC\), ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc{\rm{cos}}A = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 49 + 25 - 42 = 32 \Rightarrow a = 4\sqrt 2 \).
Ta có: \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}A = 1 \Rightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}A = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\).
Vì \({0^ \circ } < A\left\langle {{{180}^ \circ } \Rightarrow {\rm{sin}}A} \right\rangle 0 \Rightarrow {\rm{sin}}A = \frac{4}{5}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}bc{\rm{sin}}A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 14\).
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{4\sqrt 2 + 7 + 5}}{2} = 6 + 2\sqrt 2 \).
Mà \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14}}{{6 + 2\sqrt 2 }} = \frac{{14\left( {6 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{36 - 8}} = \frac{{14\left( {6 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{28}} = \frac{{6 - 2\sqrt 2 }}{2} = 3 - \sqrt 2 \).
Do đó \(a = 3,b = 2 \Rightarrow a - 2b = 3 - 2 \cdot 2 = - 1\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập