Biết rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 \le 0}\\{x - y + 4 \ge 0}\\{y \ge 0}\\{y - \frac{a}{b} \le 0}\end{array}} \right.\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản là một miền tứ giác có diện tích bằng \(\frac{{80}}{9}\). Tính tổng \(a + b\).
Biết rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 \le 0}\\{x - y + 4 \ge 0}\\{y \ge 0}\\{y - \frac{a}{b} \le 0}\end{array}} \right.\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản là một miền tứ giác có diện tích bằng \(\frac{{80}}{9}\). Tính tổng \(a + b\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 \le 0}\\{x - y + 4 \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}\,\,\left( 1 \right)} \right.\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là miền trong của tam giác \(ABC\) (kể cả bờ) trong đó \(A\left( {0;4} \right)\), \(B\left( { - 4;0} \right)\) và \(C\left( {4;0} \right)\), và tam giác \(ABC\) có diện tích là \(16\).
Để miền nghiệm của hệ bất phương trình ban đầu là một miền tứ giác thì đường thẳng \(y = \frac{a}{b}\) phải cắt hai cạnh \(AB\) và \(AC\), tức là \(0 < y = \frac{a}{b} < 4\).
Khi đó, miền nghiệm của bất phương trình được là hình thang \(BCC{\rm{'}}B{\rm{'}}\) (với \(B{\rm{'}},C{\rm{'}}\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(y = \frac{a}{b}\) với \(AB\) và \(AC\)).
Đặt \(k\) là tỉ số đồng dạng giữa tam giác \(AB{\rm{'}}C{\rm{'}}\) và tam giác \(ABC\).
Khi đó: \({S_{BCC{\rm{'}}B{\rm{'}}}} = {S_{ABC}} - {S_{AB{\rm{'}}C{\rm{'}}}} = {S_{ABC}} - {k^2}{S_{ABC}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{80}}{9} = 16 - 16{k^2} \Rightarrow 16{k^2} = 16 - \frac{{80}}{9} = \frac{{64}}{9} \Rightarrow {k^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow k = \frac{2}{3}\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\), suy ra khoảng cách từ \(A\) đến \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) là \(AH\), và khoảng cách từ \(A\) đến \(BC\) là \(AO = 4\).
Ta có: \(\frac{{AH}}{{AO}} = k = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AO - OH}}{{AO}} = 1 - \frac{{OH}}{{AO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{OH}}{{AO}} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow OH = \frac{1}{3}AO = \frac{4}{3}\).
Vì đường thẳng \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) có phương trình \(y = \frac{a}{b}\) nên khoảng cách từ nó đến trục hoành chính là \(OH = \frac{a}{b} = \frac{4}{3}\).
Do \(a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\frac{4}{3}\) là phân số tối giản nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = 3}\end{array}} \right.\).
Vậy \(a + b = 4 + 3 = 7\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Chọn C
Mô hình hóa bài toán bằng tam giác \(ABC\) với \(A\) là vị trí máy bay, \(B\) và \(C\) là vị trí hai người điều khiển, \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên \(BC\).
Ta có: \(\hat A = {180^ \circ } - \left( {{{40}^ \circ } + {{35}^ \circ }} \right) = {105^ \circ }\)
Sử dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\):
\(\frac{{AC}}{{{\rm{sin}}{{40}^ \circ }}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}{{105}^ \circ }}} \Leftrightarrow AC = \frac{{1000 \times {\rm{sin}}{{40}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{105}^ \circ }}} \approx 665,46{\rm{\;ft}}\)
Trong tam giác vuông \(AIC\), độ cao \(h\) bằng:
\(h = AI = AC \cdot {\rm{sin}}{35^ \circ } \approx 665,46 \cdot {\rm{sin}}{35^ \circ } \approx 382{\rm{\;ft}}\).
Lời giải
Đáp án:
Đáp số: -1
Áp dụng định lý cosin cho tam giác \(ABC\), ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc{\rm{cos}}A = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 49 + 25 - 42 = 32 \Rightarrow a = 4\sqrt 2 \).
Ta có: \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}A = 1 \Rightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}A = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\).
Vì \({0^ \circ } < A\left\langle {{{180}^ \circ } \Rightarrow {\rm{sin}}A} \right\rangle 0 \Rightarrow {\rm{sin}}A = \frac{4}{5}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}bc{\rm{sin}}A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 14\).
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{4\sqrt 2 + 7 + 5}}{2} = 6 + 2\sqrt 2 \).
Mà \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14}}{{6 + 2\sqrt 2 }} = \frac{{14\left( {6 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{36 - 8}} = \frac{{14\left( {6 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{28}} = \frac{{6 - 2\sqrt 2 }}{2} = 3 - \sqrt 2 \).
Do đó \(a = 3,b = 2 \Rightarrow a - 2b = 3 - 2 \cdot 2 = - 1\).
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
![Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/06/picture7-1780665560.png)
A. \(\left( { - 2; - 1} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập