Biết rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 \le 0}\\{x - y + 4 \ge 0}\\{y \ge 0}\\{y - \frac{a}{b} \le 0}\end{array}} \right.\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản là một miền tứ giác có diện tích bằng \(\frac{{80}}{9}\). Tính tổng \(a + b\).

Đáp số: -1

Áp dụng định lý cosin cho tam giác \(ABC\), ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc{\rm{cos}}A = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 49 + 25 - 42 = 32 \Rightarrow a = 4\sqrt 2 \).

Ta có: \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}A = 1 \Rightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}A = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\).

Vì \({0^ \circ } < A\left\langle {{{180}^ \circ } \Rightarrow {\rm{sin}}A} \right\rangle 0 \Rightarrow {\rm{sin}}A = \frac{4}{5}\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}bc{\rm{sin}}A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 14\).

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{4\sqrt 2 + 7 + 5}}{2} = 6 + 2\sqrt 2 \).

Mà \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14}}{{6 + 2\sqrt 2 }} = \frac{{14\left( {6 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{36 - 8}} = \frac{{14\left( {6 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{28}} = \frac{{6 - 2\sqrt 2 }}{2} = 3 - \sqrt 2 \).

Do đó \(a = 3,b = 2 \Rightarrow a - 2b = 3 - 2 \cdot 2 = - 1\).

Đáp số: 344020

Gọi \(y\) (đồng) là số tiền bạn Bình phải trả cho chuyến đi ứng với quãng đường \(x\) (\({\rm{km}}\)).

Khi đó ta có hàm số biểu thị số tiền phải trả cho quãng đường mà bạn Bình cần di chuyển là:

\(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,0 < x \le 0,3}\\{5000 + \left( {x - 0,3} \right) \cdot 20600\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,0,3 < x \le 2}\\{5000 + 20600 \cdot 1,7 + \left( {x - 2} \right) \cdot 16000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,2 < x \le 10}\\{5000 + 20600 \cdot 1,7 + 8 \cdot 16000 + \left( {x - 10} \right) \cdot 17600\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,10 < x \le 25}\\{5000 + 20600 \cdot 1,7 + 8 \cdot 16000 + 15 \cdot 17600 + \left( {x - 25} \right) \cdot 15100\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,{\rm{\;}}x > 25}\end{array}} \right.\).

Rút gọn ta được:

\(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,0 < x \le 0,3}\\{20600x - 1180\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,0,3 < x \le 2}\\{16000x + 8020\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,2 < x \le 10}\\{17600x - 7980\,\,\,\,\,{\rm{khi\;}}\,\,10 < x \le 25}\\{15100x + 54520\,\,\,{\rm{khi}}\,{\rm{\;}}x > 25}\end{array}} \right.\).

Vậy số tiền bạn Bình phải trả cho quãng đường \(20{\rm{\;km}}\) từ trường về nhà là:

\(17600 \cdot 20 - 7980 = 344020\) đồng.