Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = \(\frac{{2x - 3}}{{x - 2}}\) với mọi x ≠ 2, thỏa mãn f(1) = 1 và f(3) = 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = \(\frac{{2x - 3}}{{x - 2}}\) với mọi x ≠ 2, thỏa mãn f(1) = 1 và f(3) = 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Do f'(x) xác định với mọi x ≠ 2 nên f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \{ 2\} \).
b) Đúng. Ta có f(x) = \(\int {\frac{{2x - 3}}{{x - 2}}} dx = \int {\left( {2 + \frac{1}{{x - 2}}} \right)} dx = 2x + \ln \left| {x - 2} \right| + C\).
Trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), ta có biểu thức hàm số là f(x) = 2x + ln(x − 2) + C1.
Vì f(3) = 2 nên 2·3 + ln(3 − 2) + C1 = 2 suy ra 6 + ln1 + C1 = 2 suy ra 6 + C1 = 2 hay C1 = −4.
Do đó trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì f(x) = 2x + ln(x − 2) − 4.
c) Đúng. Trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\), ta có biểu thức hàm số là f(x) = 2x + ln(2 − x) + C2.
Vì f(1) = 1 nên 2·1 + ln(2 − 1) + C2 = 1 suy ra 2 + ln1 + C2 = 1 suy ra 2 + C2 = 1 hay C2 = −1.
Do đó trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) thì f(x) = 2x + ln(2 − x) − 1.
d) Đúng. Ta tính f(0) = 2·0 + ln(2 − 0) − 1 = ln 2 − 1.
Và f(4) = 2·4 + ln(4 − 2) − 4 = 8 + ln 2 − 4 = 4 + ln 2.
Biểu thức f(0) + 2·f(4) = (ln 2 − 1) + 2·(4 + ln 2) = ln 2 − 1 + 8 + 2·ln 2 = 7 + 3ln 2.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. 2;
B. 6;
C. 8;
D. 4.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(F\left( x \right) = \int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\);
Mà F(0) = 0 \(C = - \frac{1}{2}\). Do đó \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}\).
Khi đó \(F\left( {\ln 3} \right) = \frac{1}{2}{e^{2\ln 3}} - \frac{1}{2} = 4\).
Câu 2
A. \(\frac{5}{6}\);
B. \( - \frac{1}{6}\);
C. \(\frac{1}{6}\);
D. \( - \frac{5}{6}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Có \(f\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + 2x + 1} \right)dx} = {e^x} + {x^2} + x + C\).
Vì f(0) = 1 nên C = 0. Suy ra f(x) = ex + x2 + x.
Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) nên \(F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + {x^2} + x} \right)dx} = {e^x} + \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + {C_1}\).
Lại có F(1) = e \( \Rightarrow C = - \frac{5}{6}\). Do đó \(F\left( x \right) = {e^x} + \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - \frac{5}{6}\).
Khi đó \(F\left( 0 \right) = {e^0} - \frac{5}{6} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\).
Câu 3
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx + cosx thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\).
A. F(x) = −cosx + sinx + 3;
B. F(x) = −cosx + sinx −1;
C. F(x) = −cosx + sinx + 1;
D. F(x) = cosx – sinx + 3.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(F\left( x \right) = {x^2} + 3\sqrt {{x^3}} \);
B. \(F\left( x \right) = {x^2} + 2\sqrt[3]{{{x^2}}}\);
C. \(F\left( x \right) = {x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^2}}} - 4\);
D. \(F\left( x \right) = {x^2} + 2\sqrt {{x^3}} - 3\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. f(x) = 2ex + 2x;
B. f(x) = 2ex + 2;
C. f(x) = 2e2x + x + 2;
D. f(x) = e2x + x + 1.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2023\);
B. \(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2023\);
C. \(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2022\);
D. \(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2024\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. f(x) = 3x – 5cosx + 15;
B. f(x) = 3x – 5cosx + 2;
C. f(x) = 3x + 5cosx + 5;
D. f(x) = 3x + 5cosx + 2.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập