PHẦN III. Tự luận (3 điểm)

Cho \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\mid x \le 2} \right\}\); \(B = \{ x \in \mathbb{R}\mid 0 \le x < 4\} \). Hãy xác định các tập hợp: \(A \cup B\); \(A \cap B\); \(A\backslash B\).

Ta có \({\rm{cos}}B = \frac{1}{7}\). Sử dụng máy tính bỏ túi ta tính được: \(\widehat B \approx 81,78678^\circ \).

Đổi sang đơn vị độ, phút: \(\widehat B \approx 81^\circ 47{\rm{'}}\).

Trước tiên, từ \({\rm{cos}}B = \frac{1}{7}\), ta tính giá trị \({\rm{sin}}B\) (vì góc \(B\) của tam giác có \({\rm{sin}}B > 0\)):

\({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}B + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}B = 1 \Rightarrow {\rm{sin}}B = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{7}} \right)}^2}} = \sqrt {1 - \frac{1}{{49}}} = \frac{{\sqrt {48} }}{7} = \frac{{4\sqrt 3 }}{7}\).

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\): \(\frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}C}}\).

Suy ra \(AC = \frac{{AB \cdot {\rm{sin}}B}}{{{\rm{sin}}C}} = \frac{{7 \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{7}}}{{{\rm{sin}}60^\circ }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 4\sqrt 3 \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 }} = 8{\rm{\;cm}}\).

Vậy số đo góc \(B\) xấp xỉ \(81^\circ 47{\rm{'}}\) và độ dài cạnh \(AC = 8{\rm{\;cm}}\).

Theo đề bài và hình vẽ mô tả hình học:

 Đoạn \(FE = 21{\rm{\;m}}\) chính là chiều cao phần mái hình chóp được xây thêm.

 \(BD\) là đường nằm ngang kẻ từ vị trí đặt giác kế đến trục thẳng đứng của tòa tháp. Do đó \(BD \bot FD\) tại \(D\).

 Các tia ngắm tạo ra các góc: \(\widehat {EBD} = 19^\circ \) và \(\widehat {FBE} = 10^\circ \). Từ đó suy ra

\(\widehat {FBD} = \widehat {FBE} + \widehat {EBD} = 10^\circ + 19^\circ = 29^\circ \).

Xét hai tam giác vuông \(FBD\) và \(EBD\) vuông tại \(D\):

         \(FD = BD \cdot {\rm{tan}}\widehat {FBD} = BD \cdot {\rm{tan}}29^\circ \)

         \(ED = BD \cdot {\rm{tan}}\widehat {EBD} = BD \cdot {\rm{tan}}19^\circ \)

Ta có \(FE = FD - ED\)

\(21 = BD \cdot {\rm{tan}}29^\circ - BD \cdot {\rm{tan}}19^\circ \)

\(21 = BD \cdot \left( {{\rm{tan}}29^\circ - {\rm{tan}}19^\circ } \right)\)

Suy ra \(BD = \frac{{21}}{{{\rm{tan}}29^\circ - {\rm{tan}}19^\circ }}\).

Khi đó, \(ED = BD \cdot {\rm{tan}}19^\circ = \frac{{21 \cdot {\rm{tan}}19^\circ }}{{{\rm{tan}}29^\circ - {\rm{tan}}19^\circ }}\).

Chiều cao tổng thể từ đỉnh tháp \(F\) đến mặt đất \(C\) bằng tổng chiều cao từ đỉnh tháp đến tia nằm ngang giác kế cộng thêm chiều cao của chân giác kế \(AC = 1,6{\rm{\;m}}\):

\(FC = FD + DC = \left( {FE + ED} \right) + AC\)\( = 21 + \frac{{21 \cdot {\rm{tan}}19^\circ }}{{{\rm{tan}}29^\circ - {\rm{tan}}19^\circ }} + 1,6 \approx 57,04{\rm{\;m}}\).

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, ta được chiều cao của nhà thờ Đức Bà là \(57,04{\rm{\;m}}\).