Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 7{\rm{cm}}\), số đo góc \(C\) bằng \(60^\circ \) và \({\rm{cos}}B = \frac{1}{7}\). Tính số đo góc \(B\) (làm tròn đến hàng đơn vị của phút) và độ dài cạnh \(AC\) (làm tròn đến hàng đơn vị của \({\rm{cm}}\)).

Theo đề bài và hình vẽ mô tả hình học:

 Đoạn \(FE = 21{\rm{\;m}}\) chính là chiều cao phần mái hình chóp được xây thêm.

 \(BD\) là đường nằm ngang kẻ từ vị trí đặt giác kế đến trục thẳng đứng của tòa tháp. Do đó \(BD \bot FD\) tại \(D\).

 Các tia ngắm tạo ra các góc: \(\widehat {EBD} = 19^\circ \) và \(\widehat {FBE} = 10^\circ \). Từ đó suy ra

\(\widehat {FBD} = \widehat {FBE} + \widehat {EBD} = 10^\circ + 19^\circ = 29^\circ \).

Xét hai tam giác vuông \(FBD\) và \(EBD\) vuông tại \(D\):

         \(FD = BD \cdot {\rm{tan}}\widehat {FBD} = BD \cdot {\rm{tan}}29^\circ \)

         \(ED = BD \cdot {\rm{tan}}\widehat {EBD} = BD \cdot {\rm{tan}}19^\circ \)

Ta có \(FE = FD - ED\)

\(21 = BD \cdot {\rm{tan}}29^\circ - BD \cdot {\rm{tan}}19^\circ \)

\(21 = BD \cdot \left( {{\rm{tan}}29^\circ - {\rm{tan}}19^\circ } \right)\)

Suy ra \(BD = \frac{{21}}{{{\rm{tan}}29^\circ - {\rm{tan}}19^\circ }}\).

Khi đó, \(ED = BD \cdot {\rm{tan}}19^\circ = \frac{{21 \cdot {\rm{tan}}19^\circ }}{{{\rm{tan}}29^\circ - {\rm{tan}}19^\circ }}\).

Chiều cao tổng thể từ đỉnh tháp \(F\) đến mặt đất \(C\) bằng tổng chiều cao từ đỉnh tháp đến tia nằm ngang giác kế cộng thêm chiều cao của chân giác kế \(AC = 1,6{\rm{\;m}}\):

\(FC = FD + DC = \left( {FE + ED} \right) + AC\)\( = 21 + \frac{{21 \cdot {\rm{tan}}19^\circ }}{{{\rm{tan}}29^\circ - {\rm{tan}}19^\circ }} + 1,6 \approx 57,04{\rm{\;m}}\).

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, ta được chiều cao của nhà thờ Đức Bà là \(57,04{\rm{\;m}}\).

Xét tam giác vuông \(ABC\) tại \(B\): \({\rm{tan}}\widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{{\rm{tan}}60^\circ }} = \frac{{AB}}{{\sqrt 3 }}\).

Xét tam giác vuông \(ABD\) tại \(B\): \({\rm{tan}}\widehat {ADB} = \frac{{AB}}{{BD}} \Rightarrow BD = \frac{{AB}}{{{\rm{tan}}49^\circ }}\).

Vì ba điểm \(B,C,D\) thẳng hàng và theo hình vẽ điểm \(C\) nằm giữa \(B\) và \(D\), ta có:

\(BD - BC = CD\)

\(\frac{{AB}}{{{\rm{tan}}49^\circ }} - \frac{{AB}}{{\sqrt 3 }} = 44\)

\(AB\left( {\frac{1}{{{\rm{tan}}49^\circ }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = 44\)

\(AB = \frac{{44}}{{\frac{1}{{{\rm{tan}}49^\circ }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}}} \approx 151{\rm{\;m}}\)

Chọn D.