Cho hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}},m \in \mathbb{R}\).

Đáp án: a) Đúng.                   b) Đúng.              c) Sai.                  d) Sai.

a) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}} = 0\) nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Đúng. Với m = 1 thì hàm số có dạng \(y = \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}} = \frac{{x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\).

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = + \infty \). Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

c) Sai. Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}} = 0\).

Suy ra y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đặt f(x) = x³ – 3mx² + (2m² + 1)x – m = (x – m)(x² − 2mx + 1).

Để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khác 3.

Có f(x) = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - m = 0\\{x^2} - 2mx + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\g\left( x \right) = {x^2} - 2mx + 1 = 0\end{array} \right.\).

Để phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khác 3 thì m ≠ 3 và phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3

Khi đó có \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\\Delta ' = {m^2} - 1 > 0\\10 - 6m \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.\\m \ne 3\\m \ne \frac{5}{3}\end{array} \right.\).

d) Sai. Vì m ∈ ℤ và m ∈ [−2020; 2020] nên m ∈ {−2020; −2019; …; −2; 2; 4; …; 2020}.

Vậy có tất cả 4037 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.