Bác Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có diện tích là 8 hecta. Nếu trồng 1 hecta ngô thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1 hecta đậu xanh thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Biết rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng ngô và đậu xanh. Gọi \(x,y\) lần lượt là số hecta trồng ngô và đậu xanh với điều kiện \(x \ge 0;y \ge 0\).

Theo dữ liệu bài toán và mô phỏng trên hình vẽ, ta xét các tam giác phẳng \(ABP\) và \(ABQ\) trên cùng một mặt phẳng thẳng đứng chứa các điểm đỉnh núi:

Xét tam giác \(ABP\):

Ta có cạnh \(AB = 1{\rm{\;km}}\).

Góc tại \(A\): \(\widehat {PAB} = {60^ \circ }\).

Góc tại \(B\): \(\widehat {PBA} = {40^ \circ }\).

Góc tại đỉnh \(P\):

\(\widehat {APB} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {PAB} + \widehat {PBA}} \right) = {180^ \circ } - \left( {{{60}^ \circ } + {{40}^ \circ }} \right) = {80^ \circ }\)

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABP\) để tính cạnh \(AP\):

\(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {APB}}} = \frac{{AP}}{{{\rm{sin}}\widehat {PBA}}} \Rightarrow AP = \frac{{1 \cdot {\rm{sin}}{{40}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{80}^ \circ }}} \approx \frac{{0,6428}}{{0,9848}} \approx 0,6527{\rm{\;km}}\)

Xét tam giác \(ABQ\):

Ta có cạnh \(AB = 1{\rm{\;km}}\).

Góc tại \(A\): \(\widehat {QAB} = {35^ \circ }\).

Góc tại \(B\): \(\widehat {QBA} = {25^ \circ }\).

Góc tại đỉnh \(Q\):

\(\widehat {AQB} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {QAB} + \widehat {QBA}} \right) = {180^ \circ } - \left( {{{35}^ \circ } + {{25}^ \circ }} \right) = {120^ \circ }\)

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABQ\) để tính cạnh \(AQ\):

\(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {AQB}}} = \frac{{AQ}}{{{\rm{sin}}\widehat {QBA}}} \Rightarrow AQ = \frac{{1 \cdot {\rm{sin}}{{25}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{120}^ \circ }}} = \frac{{{\rm{sin}}{{25}^ \circ }}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} \approx \frac{{0,4226}}{{0,8660}} \approx 0,4880{\rm{\;km}}\)

Xét tam giác \(APQ\):

Ta biết góc kẹp giữa hai tia ngắm từ \(A\) đến hai đỉnh núi \(P\) và \(Q\) là:

\(\widehat {PAQ} = \widehat {PAB} - \widehat {QAB} = {60^ \circ } - {35^ \circ } = {25^ \circ }\)

Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(APQ\) để tìm độ dài khoảng cách \(PQ\):

\(P{Q^2} = A{P^2} + A{Q^2} - 2 \cdot AP \cdot AQ \cdot {\rm{cos}}\widehat {PAQ}\)

Thay số cụ thể vào phương trình:

\(P{Q^2} \approx {\left( {0,6527} \right)^2} + {\left( {0,4880} \right)^2} - 2 \cdot \left( {0,6527} \right) \cdot \left( {0,4880} \right) \cdot {\rm{cos}}{25^ \circ }\)

\(P{Q^2} \approx 0,4260 + 0,2381 - 2 \cdot 0,3185 \cdot 0,9063\)

\(P{Q^2} \approx 0,6641 - 0,5773 = 0,0868\)

\( \Rightarrow PQ = \sqrt {0,0868} \approx 0,2946{\rm{\;km}}\)

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, khoảng cách giữa hai đỉnh núi \(P\) và \(Q\) là \(0,29{\rm{\;km}}\).

Đáp án:

Ta chọn hệ trục tọa độ hoặc phân tích bằng sơ đồ vectơ hình học với gốc tại cảng \(A\). Hướng Bắc ứng với tia \(Ay\) thẳng đứng hướng lên.

Tàu du lịch (gọi là vị trí \(M\) lúc 11 giờ):

Thời gian di chuyển từ 8 giờ đến 11 giờ là: \(11 - 8 = 3\) (giờ).

Quãng đường tàu du lịch đi được: \(AM = 70 \cdot 3 = 210{\rm{\;km}}\).

Hướng di chuyển: \(N{30^ \circ }W\) (tức lệch sang hướng Tây \({30^ \circ }\) so với hướng Bắc). Góc giữa \(AM\) và tia Bắc \(Ay\) là \({30^ \circ }\).

Tàu đánh cá (gọi là vị trí \(N\) lúc 11 giờ):

Giai đoạn 1 (từ 6 giờ đến 9 giờ - sau 3 giờ): Tàu đi từ \(A\) đến điểm chuyển hướng \(K\) theo hướng \(N{70^ \circ }E\) (lệch sang hướng Đông \({70^ \circ }\) so với hướng Bắc).

Quãng đường giai đoạn 1: \(AK = 50 \cdot 3 = 150{\rm{\;km}}\).

Giai đoạn 2 (từ 9 giờ đến 11 giờ - thời gian là 2 giờ): Từ \(K\), tàu chuyển hoàn toàn sang hướng Bắc với vận tốc \(40{\rm{\;km/h}}\).

Quãng đường: \(KN = 40 \cdot 2 = 80{\rm{\;km}}\) (Vectơ \(\overrightarrow {KN} \) song song và cùng hướng với tia Bắc \(Ay\)).

Tính khoảng cách \(MN\) giữa hai tàu lúc 11 giờ bằng phương pháp tọa độ hóa hoặc vectơ:

Chọn hệ trục tọa độ cụ thể sao cho gốc tọa độ tại cảng \(A\left( {0;0} \right)\), trục \(Oy\) hướng thẳng về phía Bắc, trục \(Ox\) hướng về phía Đông.

Tọa độ điểm \(M\) (Tàu du lịch): Do nằm ở góc phần tư thứ II (hướng Tây - Bắc), góc với trục \(Oy\) là \({30^ \circ }\):

\({x_M} = - 210 \cdot {\rm{sin}}{30^ \circ } = - 105\)

\({y_M} = 210 \cdot {\rm{cos}}{30^ \circ } = 105\sqrt 3 \approx 181,87\)

Tọa độ điểm \(K\): Nằm ở góc phần tư thứ I (hướng Đông - Bắc), góc với trục \(Oy\) là \({70^ \circ }\):

\({x_K} = 150 \cdot {\rm{sin}}{70^ \circ } \approx 150 \cdot 0,9397 = 140,95\)

\({y_K} = 150 \cdot {\rm{cos}}{70^ \circ } \approx 150 \cdot 0,3420 = 51,30\)

Tọa độ điểm \(N\) (Tàu đánh cá lúc 11 giờ): Đi thẳng lên phía Bắc từ \(K\) thêm một đoạn \(80{\rm{\;km}}\):

\({x_N} = {x_K} = 140,95\)

\({y_N} = {y_K} + 80 = 51,30 + 80 = 131,30\)

Tính khoảng cách \(MN\):

\(MN = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2}} \)

\(MN = \sqrt {{{\left( {140,95 - \left( { - 105} \right)} \right)}^2} + {{\left( {131,30 - 181,87} \right)}^2}} \)

\(MN = \sqrt {{{\left( {245,95} \right)}^2} + {{\left( { - 50,57} \right)}^2}} = \sqrt {60491,4 + 2557,3} = \sqrt {63048,7} \approx 251,09{\rm{\;km}}\)

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ta được \(251{\rm{\;km}}\).

Đáp số: 251