Tại vòng chung kết của một trò chơi trên truyền hình, có 100 khán giả tại trường quay có quyền bình chọn cho hai thí sinh A và B. Biết rằng có 85 khán giả bình chọn cho thí sinh A, 72 khán giả bình chọn cho thí sinh B và 65 khán giả bình chọn cho cả hai thí sinh. Có bao nhiêu khán giả đã tham gia bình chọn, bao nhiêu khán giả không tham gia bình chọn?

Theo dữ liệu bài toán và mô phỏng trên hình vẽ, ta xét các tam giác phẳng \(ABP\) và \(ABQ\) trên cùng một mặt phẳng thẳng đứng chứa các điểm đỉnh núi:

Xét tam giác \(ABP\):

Ta có cạnh \(AB = 1{\rm{\;km}}\).

Góc tại \(A\): \(\widehat {PAB} = {60^ \circ }\).

Góc tại \(B\): \(\widehat {PBA} = {40^ \circ }\).

Góc tại đỉnh \(P\):

\(\widehat {APB} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {PAB} + \widehat {PBA}} \right) = {180^ \circ } - \left( {{{60}^ \circ } + {{40}^ \circ }} \right) = {80^ \circ }\)

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABP\) để tính cạnh \(AP\):

\(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {APB}}} = \frac{{AP}}{{{\rm{sin}}\widehat {PBA}}} \Rightarrow AP = \frac{{1 \cdot {\rm{sin}}{{40}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{80}^ \circ }}} \approx \frac{{0,6428}}{{0,9848}} \approx 0,6527{\rm{\;km}}\)

Xét tam giác \(ABQ\):

Ta có cạnh \(AB = 1{\rm{\;km}}\).

Góc tại \(A\): \(\widehat {QAB} = {35^ \circ }\).

Góc tại \(B\): \(\widehat {QBA} = {25^ \circ }\).

Góc tại đỉnh \(Q\):

\(\widehat {AQB} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {QAB} + \widehat {QBA}} \right) = {180^ \circ } - \left( {{{35}^ \circ } + {{25}^ \circ }} \right) = {120^ \circ }\)

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABQ\) để tính cạnh \(AQ\):

\(\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {AQB}}} = \frac{{AQ}}{{{\rm{sin}}\widehat {QBA}}} \Rightarrow AQ = \frac{{1 \cdot {\rm{sin}}{{25}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{120}^ \circ }}} = \frac{{{\rm{sin}}{{25}^ \circ }}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} \approx \frac{{0,4226}}{{0,8660}} \approx 0,4880{\rm{\;km}}\)

Xét tam giác \(APQ\):

Ta biết góc kẹp giữa hai tia ngắm từ \(A\) đến hai đỉnh núi \(P\) và \(Q\) là:

\(\widehat {PAQ} = \widehat {PAB} - \widehat {QAB} = {60^ \circ } - {35^ \circ } = {25^ \circ }\)

Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(APQ\) để tìm độ dài khoảng cách \(PQ\):

\(P{Q^2} = A{P^2} + A{Q^2} - 2 \cdot AP \cdot AQ \cdot {\rm{cos}}\widehat {PAQ}\)

Thay số cụ thể vào phương trình:

\(P{Q^2} \approx {\left( {0,6527} \right)^2} + {\left( {0,4880} \right)^2} - 2 \cdot \left( {0,6527} \right) \cdot \left( {0,4880} \right) \cdot {\rm{cos}}{25^ \circ }\)

\(P{Q^2} \approx 0,4260 + 0,2381 - 2 \cdot 0,3185 \cdot 0,9063\)

\(P{Q^2} \approx 0,6641 - 0,5773 = 0,0868\)

\( \Rightarrow PQ = \sqrt {0,0868} \approx 0,2946{\rm{\;km}}\)

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, khoảng cách giữa hai đỉnh núi \(P\) và \(Q\) là \(0,29{\rm{\;km}}\).

Đáp án:

Tìm các phần tử của tập hợp \(A\):

\(\left( {2 - x} \right)\left( {{x^2} - 3x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{c}}{2 - x = 0}\\{{x^2} - 3x - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = - 1}\\{x = 4}\end{array}\)

Vì tất cả các nghiệm trên đều thuộc tập số nguyên \(\mathbb{Z}\) nên \(A = \left\{ { - 1;2;4} \right\}\).

Tìm các phần tử của tập hợp \(B\):

\(x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1 \Rightarrow B = \left[ { - 1; + \infty } \right)\)

Tìm tập hợp giao \(A \cap B\):

\(A \cap B = \left\{ { - 1;2;4} \right\} \cap \left[ { - 1; + \infty } \right) = \left\{ { - 1;2;4} \right\}\)

Đề bài hỏi các số tự nhiên thuộc tập hợp \(A \cap B\). Tập các số tự nhiên \(\mathbb{N} = \left\{ {0,1,2,3, \ldots } \right\}\).

Trong các phần tử trên, các số tự nhiên gồm có: \(2\) và \(4\). Như vậy có 2 số tự nhiên thỏa mãn.

Đáp số: 2