Hai người \(A\) và \(B\) cùng quan sát một con tàu đang đậu ngoài khơi tại vị trí \(C\). Người \(A\) đứng trên bờ biển, người \(B\) đứng trên một hòn đảo cách bờ một khoảng \(AB = 105{\rm{\;m}}\). Hai người tiến hành đo đạc và thu được kết quả: \(\widehat {CAB} = {50^ \circ },\widehat {CBA} = {60^ \circ }\). Hỏi con tàu cách người \(B\) bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Vẽ đường thẳng \({d_1}:x - 2y = 2\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = - 1 \Rightarrow \left( {0; - 1} \right)\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow \left( {2;0} \right)\).

Thay tọa độ gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình \(x - 2y \le 2\): \(0 - 2 \cdot 0 \le 2\) (đúng). Vậy miền nghiệm của bất phương trình thứ nhất là nửa mặt phẳng bờ \({d_1}\) chứa gốc tọa độ \(O\).

Vẽ đường thẳng \({d_2}:x + y = 1\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow \left( {0;1} \right)\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow \left( {1;0} \right)\).

Thay tọa độ gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình \(x + y \ge 1\): \(0 + 0 \ge 1\) (sai). Vậy miền nghiệm của bất phương trình thứ hai là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}\) không chứa gốc tọa độ \(O\).

Kết luận: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền giao của hai nửa mặt phẳng trên (miền không bị gạch chứa cả hai bờ \({d_1}\) và \({d_2}\) trong hình dưới).

Đáp án:

Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số đèn ngôi sao và số đèn con thỏ bạn Lan làm (\(x,y \in \mathbb{N}\)).

Theo điều kiện bài toán, ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y \le 30}\\{x + y \ge 12}\\{x \ge 0,\,y \ge 0}\end{array}} \right.\).

Số tiền thu được (đơn vị: nghìn đồng) là: \(F\left( {x,y} \right) = 95x + 105y\).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\):

Các giao điểm của miền nghiệm (hình tam giác tạo bởi các đường biên):

Giao điểm của \(2x + 3y = 30\) và \(x + y = 12\):

Giải hệ phương trình ra nghiệm \(x = 6,y = 6 \Rightarrow A\left( {6;6} \right)\).

Giao điểm của \(x + y = 12\) với trục \(Ox\) (\(y = 0\)): \(B\left( {12;0} \right)\). Thay vào thời gian: \(2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 24 \le 30\) (thỏa mãn).

Giao điểm của \(2x + 3y = 30\) với trục \(Ox\) (\(y = 0\)): \(C\left( {15;0} \right)\).

Miền nghiệm là tam giác \(ABC\) kể cả biên với các đỉnh \(A\left( {6;6} \right)\), \(B\left( {12;0} \right)\), \(C\left( {15;0} \right)\).

Tính giá trị của \(F\left( {x,y} \right)\) tại các đỉnh:

Tại \(A\left( {6;6} \right)\): \(F\left( {6,6} \right) = 95 \cdot 6 + 105 \cdot 6 = 1200\) (nghìn đồng) \( = 1,2\) triệu đồng.

Tại \(B\left( {12;0} \right)\): \(F\left( {12,0} \right) = 95 \cdot 12 + 0 = 1140\) (nghìn đồng) \( = 1,14\) triệu đồng.

Tại \(C\left( {15;0} \right)\): \(F\left( {15,0} \right) = 95 \cdot 15 + 0 = 1425\) (nghìn đồng) \( = 1,425\) triệu đồng.

Số tiền lớn nhất thu được là \(1,425\) triệu đồng.

Đáp số: 1,425