Lớp 10A có 31 học sinh, học sinh nào cũng tham gia ít nhất một trong hai đội bóng đá hoặc bóng chuyền. Số học sinh tham gia đội bóng đá là 19, số học sinh tham gia đội bóng chuyền là 16. Hỏi có bao nhiêu học sinh tham gia đồng thời cả hai đội bóng đá và bóng chuyền?

Vẽ đường thẳng \({d_1}:x - 2y = 2\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = - 1 \Rightarrow \left( {0; - 1} \right)\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow \left( {2;0} \right)\).

Thay tọa độ gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình \(x - 2y \le 2\): \(0 - 2 \cdot 0 \le 2\) (đúng). Vậy miền nghiệm của bất phương trình thứ nhất là nửa mặt phẳng bờ \({d_1}\) chứa gốc tọa độ \(O\).

Vẽ đường thẳng \({d_2}:x + y = 1\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow \left( {0;1} \right)\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow \left( {1;0} \right)\).

Thay tọa độ gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình \(x + y \ge 1\): \(0 + 0 \ge 1\) (sai). Vậy miền nghiệm của bất phương trình thứ hai là nửa mặt phẳng bờ \({d_2}\) không chứa gốc tọa độ \(O\).

Kết luận: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền giao của hai nửa mặt phẳng trên (miền không bị gạch chứa cả hai bờ \({d_1}\) và \({d_2}\) trong hình dưới).

Đáp án:

Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số đèn ngôi sao và số đèn con thỏ bạn Lan làm (\(x,y \in \mathbb{N}\)).

Theo điều kiện bài toán, ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y \le 30}\\{x + y \ge 12}\\{x \ge 0,\,y \ge 0}\end{array}} \right.\).

Số tiền thu được (đơn vị: nghìn đồng) là: \(F\left( {x,y} \right) = 95x + 105y\).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\):

Các giao điểm của miền nghiệm (hình tam giác tạo bởi các đường biên):

Giao điểm của \(2x + 3y = 30\) và \(x + y = 12\):

Giải hệ phương trình ra nghiệm \(x = 6,y = 6 \Rightarrow A\left( {6;6} \right)\).

Giao điểm của \(x + y = 12\) với trục \(Ox\) (\(y = 0\)): \(B\left( {12;0} \right)\). Thay vào thời gian: \(2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 24 \le 30\) (thỏa mãn).

Giao điểm của \(2x + 3y = 30\) với trục \(Ox\) (\(y = 0\)): \(C\left( {15;0} \right)\).

Miền nghiệm là tam giác \(ABC\) kể cả biên với các đỉnh \(A\left( {6;6} \right)\), \(B\left( {12;0} \right)\), \(C\left( {15;0} \right)\).

Tính giá trị của \(F\left( {x,y} \right)\) tại các đỉnh:

Tại \(A\left( {6;6} \right)\): \(F\left( {6,6} \right) = 95 \cdot 6 + 105 \cdot 6 = 1200\) (nghìn đồng) \( = 1,2\) triệu đồng.

Tại \(B\left( {12;0} \right)\): \(F\left( {12,0} \right) = 95 \cdot 12 + 0 = 1140\) (nghìn đồng) \( = 1,14\) triệu đồng.

Tại \(C\left( {15;0} \right)\): \(F\left( {15,0} \right) = 95 \cdot 15 + 0 = 1425\) (nghìn đồng) \( = 1,425\) triệu đồng.

Số tiền lớn nhất thu được là \(1,425\) triệu đồng.

Đáp số: 1,425