Tính giá trị của biểu thức: \(A = 3{\rm{sin}}{90^ \circ } + 2{\rm{cos}}{0^ \circ } - 3{\rm{cos}}{60^ \circ } + 10{\rm{cos}}{180^ \circ }\)

Đáp án:

Bước 1: Xác định các đỉnh tọa độ của miền nghiệm đa giác tạo bởi hệ bất phương trình:

Biên đường thẳng đường thẳng: \({d_1}:y - 2x = 2\), \({d_2}:2y - x = 4\), \({d_3}:x + y = 5\).

Giao điểm \(A\) của \({d_1}\) và \({d_2}\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y - 2x = 2}\\{2y - x = 4}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow A\left( {0;2} \right)\)

Giao điểm \(B\) của \({d_1}\) và \({d_3}\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y - 2x = 2}\\{x + y = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow B\left( {1;3} \right)\)

Giao điểm \(C\) của \({d_2}\) và \({d_3}\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y - x = 4}\\{x + y = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow C\left( {2;3} \right)\)

Bước 2: Tính giá trị hàm mục tiêu \(F\left( {x,y} \right) = y - x\) tại ba tọa độ đỉnh đỉnh đa giác:

Tại \(A\left( {0;2} \right)\): \(F\left( {0,2} \right) = 2 - 0 = 2\).

Tại \(B\left( {1;3} \right)\): \(F\left( {1,3} \right) = 3 - 1 = 2\).

Tại \(C\left( {2;3} \right)\): \(F\left( {2,3} \right) = 3 - 2 = 1\).

Bước 3: So sánh tìm giá trị nhỏ nhất:

Nhận thấy giá trị cực tiểu nhỏ nhất của biểu thức là \(F = 1\) đạt được tại điểm đỉnh \(C\left( {2;3} \right)\).

Suy ra giá trị cặp nghiệm tối ưu là \({x_0} = 2\) và \({y_0} = 3\).

Bước 4: Tính giá trị biểu thức yêu cầu:

\(2x_0^2 + y_0^2 = 2 \cdot {\left( 2 \right)^2} + {\left( 3 \right)^2} = 2 \cdot 4 + 9 = 17\)

Kết quả: 17

Vì \(\alpha \in \left( {{{90}^ \circ };{{180}^ \circ }} \right)\) (góc tù thuộc góc phần tư thứ II) nên \({\rm{sin}}\alpha > 0\), \({\rm{tan}}\alpha < 0\), và \({\rm{cot}}\alpha < 0\).

Mệnh đề a: ĐÚNG. Ta có công thức:

\({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\left( {{\rm{do\;sin}}\alpha > 0} \right)\)

Mệnh đề b: SAI. Giá trị đúng phải mang dấu âm:

\({\rm{tan}}\alpha = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{ - \frac{2}{3}}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Mệnh đề c: ĐÚNG. Tính giá trị \({\rm{cot}}\alpha \):

\({\rm{cot}}\alpha = \frac{1}{{{\rm{tan}}\alpha }} = - \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)

Mệnh đề d: ĐÚNG. Sử dụng máy tính cầm tay bấm tìm góc từ \({\rm{cos}}\alpha = - \frac{2}{3}\) trong miền góc tù:

\(\alpha = {\rm{arccos}}\left( { - \frac{2}{3}} \right) \approx 131,{81^ \circ } \approx {131^ \circ }48{\rm{'}}\)