Xét hàm số \(f(x) = \sqrt {4{x^2} - 4x + 1} \). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau về tích phân \(I = \int_0^2 f (x)dx\):
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Tích phân lớp 12 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có biến đổi: \(f(x) = \sqrt {4{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} = \left| {2x - 1} \right|\).
b) Sai. Hàm số \(f(x) = \left| {2x - 1} \right|\) nghịch biến trên khoảng \(\left[ {0;\frac{1}{2}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2};2} \right]\), do đó không thể luôn đồng biến trên toàn bộ đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).
c) Đúng. Xét phương trình \(2x - 1 = 0\) suy ra \(x = \frac{1}{2}\). Điểm \(x = \frac{1}{2}\) thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).
Sử dụng tính chất cộng đoạn của tích phân, ta có: \(I = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left| {2x - 1} \right|} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left| {2x - 1} \right|} dx\)
Trên đoạn \(\left[ {0;\frac{1}{2}} \right]\), ta có \(2x - 1 \le 0\) nên \(\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x\).
Trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\), ta có \(2x - 1 \ge 0\) nên \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1\).
Do đó: \(I = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left( {1 - 2x} \right)} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2x - 1} \right)} dx\).
d) Đúng. Ta có: \[I = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left( {1 - 2x} \right)} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2x - 1} \right)} dx = \left. {\left( {x - {x^2}} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2\]
\[ = \left( {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} \right) - 0} \right) + \left( {\left( {4 - 2} \right) - \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} \right)} \right) = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{2}\].
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. 4;
B. 3;
C. 2;
D. 1.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
\(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} - \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^1 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{6} - \left( { - \frac{1}{6}} \right) = 1\).
Câu 2
A. 1;
B. 2;
C. 3;
D. 4.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
\(I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x - 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = 1\).
Câu 3
A. 0;
B. 3;
C. 2;
D. 1.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. a = 1;
B. a = 2;
C. a = 3;
D. a = 4.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{{152}}{3}\);
B. \(\frac{{64}}{3}\);
C. \(\frac{{ - 64}}{3}\);
D. \(\frac{{ - 152}}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right|\);
B. \(\int\limits_{ - 1}^1 {{{\left| x \right|}^3}dx} = \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {{x^3}dx} } \right|\);
C. \(\int\limits_{ - 2}^3 {\left| {{e^x}\left( {x + 1} \right)} \right|dx} = \left| {\int\limits_{ - 2}^3 {{e^x}\left( {x + 1} \right)dx} } \right|\);
D. \(\int\limits_{ - 1}^{2018} {\left| {{x^4} + {x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^{2018} {\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)dx} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập