Cho tích phân \(I(m) = \int_0^2 {\left| {x - m} \right|} dx\) với m là tham số. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Tích phân lớp 12 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. \(I(1) = \int_0^1 {\left( {1 - x} \right)} dx + \int_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} = 0,5 + 0,5 = 1\).
b) Đúng. Khi m ≤ 0 và x thuộc [0; 2] thì x − m ≥ 0.
c) Đúng. Khi m ≥ 2 và x thuộc [0; 2] thì x − m ≤ 0.
d) Sai. Ta xét các trường hợp của tham số m để tìm giá trị nhỏ nhất của \(I(m)\):
- Trường hợp 1: m ≤ 0.
Theo câu b, \(I(m) = \int_0^2 {\left( {x - m} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - mx} \right)} \right|_0^2 = 2 - 2m\). Vì m ≤ 0 nên I(m) ≥ 2.
- Trường hợp 2: m ≥ 2. Theo câu c, \(I(m) = \int_0^2 {\left( {m - x} \right)} dx = \left. {\left( {mx - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2m - 2\).
Vì m ≥ 2 nên I(m) ≥ 2.
- Trường hợp 3: 0 < m < 2. Tích phân được tách thành hai phần:
\(I(m) = \int_0^m {\left( {m - x} \right)} dx + \int_m^2 {\left( {x - m} \right)} dx = \left. {\left( {mx - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^m + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - mx} \right)} \right|_m^2\)
\( = \left( {{m^2} - \frac{{{m^2}}}{2}} \right) + \left( {\left( {2 - 2m} \right) - \left( {\frac{{{m^2}}}{2} - {m^2}} \right)} \right) = \frac{{{m^2}}}{2} + 2 - 2m + \frac{{{m^2}}}{2} = {m^2} - 2m + 2\)
Ta biến đổi: \(I(m) = {m^2} - 2m + 1 + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 1 \ge 1\).
Dấu "=" xảy ra khi \(m = 1\).
So sánh ba trường hợp, ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(I(m)\) là 1, đạt được khi \(m = 1\). Do đó mệnh đề d là sai.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. 4;
B. 3;
C. 2;
D. 1.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
\(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} - \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^1 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{6} - \left( { - \frac{1}{6}} \right) = 1\).
Câu 2
A. 1;
B. 2;
C. 3;
D. 4.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
\(I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x - 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = 1\).
Câu 3
A. 0;
B. 3;
C. 2;
D. 1.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. a = 1;
B. a = 2;
C. a = 3;
D. a = 4.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{{152}}{3}\);
B. \(\frac{{64}}{3}\);
C. \(\frac{{ - 64}}{3}\);
D. \(\frac{{ - 152}}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right|\);
B. \(\int\limits_{ - 1}^1 {{{\left| x \right|}^3}dx} = \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {{x^3}dx} } \right|\);
C. \(\int\limits_{ - 2}^3 {\left| {{e^x}\left( {x + 1} \right)} \right|dx} = \left| {\int\limits_{ - 2}^3 {{e^x}\left( {x + 1} \right)dx} } \right|\);
D. \(\int\limits_{ - 1}^{2018} {\left| {{x^4} + {x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^{2018} {\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)dx} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập