Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo km) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay, một máy bay đang ở vị trí A(4; -5; 1) sẽ hạ cánh khẩn cấp ở vị trí B(1; 2; 0) trên đường băng EG.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.           b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;\,\,7;\,\, - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Do đó phương trình đường thẳng AB là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 3t\\y =  - 5 + 7t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) (t phút).

b) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;\,\,7;\,\, - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và \(\overrightarrow k  = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).

Khi đó \(\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} \cdot \sqrt {{1^2}} } }} = \frac{{\sqrt {59} }}{{59}}\).

Suy ra \(\left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx 7,48^\circ  \in \left( {2,5^\circ ;\,\,9^\circ } \right)\)

c) Đúng. Phương trình mặt phẳng (P) là \(\frac{x}{5} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{2} = 1 \Leftrightarrow 2x - 10y + 5z - 10 = 0\).

Ta có C là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) nên C$\in$ AB.

Suy ra, điểm C(4 – 3t; -5 + 7t; 1 – t), thay vào (P) ta được:

2(4 – 3t) – 10(-5 + 7t) + 5(1 – t) – 10 = 0 <=> -81t + 53 = 0 <=> t = \(\frac{{53}}{{81}}\).

Suy ra \(C\left( {\frac{{55}}{{27}};\,\, - \frac{{34}}{{81}};\,\,\frac{{28}}{{81}}} \right)\). Do đó, điểm C có độ cao bằng \(\frac{{28}}{{81}}\) (km) $\approx$ 346 (m).

d) Đúng. Gọi I là điểm ở độ cao 150 m và I $\in$AB nên tọa độ điểm I là I(4 – 3a, -5 + 7a; 1 – a).

Vì I ở độ cao 150 m nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Oxy) là 150 m = 0,15 km.

\(d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = 0,15 \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - a} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 0,15 \Leftrightarrow \left| {1 - a} \right| = 0,15\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - a = 0,15\\1 - a =  - 0,15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0,85\\a = 1,15\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( {1,45;\,\,0,95;\,\,0,15} \right)\\I\left( {0,55;\,\,3,05;\,\, - 0,15} \right)\end{array} \right.\).

Vì I là vị trí độ cao của máy bay nên ta chọn I(1,45; 0,95; 0,15).

Ta có: IE = \(\sqrt {{{\left( {1,45 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0,95 - 0,5} \right)}^2} + {{0,15}^2}}  \approx 0,73.\)

Do tầm nhìn của phi công sau khi khỏi máy bay là 800 m = 0,8 km > 0,73 km nên người phi công đạt được quy định an toàn bay.