Bài tập Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế lớp 12 (có lời giải)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 3; 0) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)\) với tốc độ là 4,5 m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Cabin dừng ở điểm B. Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)?

Trong không gian Oxyz, đường băng của một sân bay thuộc mặt phẳng (Oxy). Một máy bay sau khi chạy đà trên đường băng đó đã cất cánh tại điểm A(1; 2; 0) với vận tốc không đổi trong khoảng thời gian ngắn ban đầu, vectơ vận tốc \(\overrightarrow v = \left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)\). Trong khoảng thời gian ngắn nói trên, góc cất cánh của máy bày bằng.

Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, xét các đường thẳng đi qua hai nút lưới (mỗi nút lưới là đỉnh của hình lập phương), người ta đưa ra một cách kiểm tra độ lệch về phương của hai đường thẳng bằng cách gắn hệ tọa độ Oxyz vào khung lưới ô vuông và tìm vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. Giả sử, đường thẳng a đi qua hai nút lưới M(1; 1; 2) và N(0; 3; 0), đường thẳng b đi qua hai nút lưới P(1; 0; 3) và Q(3; 3; 9). Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ)?

Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình vẽ. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm gốc O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là O(0; 0; 0), A(5; −3; 1), B(−3; −4; 2), đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm C(0; 0; 5) và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Khi đó, góc tạo bởi sợi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng (Oxy). Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng (P): x – 2y + 5 = 0 và (Q): x – 2y – 3z + 20 = 0. Tính côsin góc tạo bởi giữa hai mái nhà.

Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo km) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay ở vị trí A(3; 2; −3) sẽ hạ cánh tới vị trí B(8; 8; 0). Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Một nhà kho được minh họa như hình bên, trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), biết kho có chiều cao bằng 8 m, hai mái nhà EFIK, HGIK là hình chữ nhật bằng nhau, các bức tường tạo thành hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH, AB = 10 m, AD = 24 m, AE = 7 m. Khi đó góc giữa hai mái nhà bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ)?

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, sàn nhà của một công trình thuộc mặt phẳng Oxy, tay vịn của lan can cầu thang là một đường thẳng đi qua hai điểm A(5; 1; 9) và B(2; 1; 12). Góc tạo bởi tay vịn của lan can cầu thang và mặt sàn nhà bằng bao nhiêu độ?

Trong một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ trục tọa Oxyz. Biết tia sáng có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.\) và mặt sàn sân khấu là mặt phẳng (P) có phương trình y = 0. Tính góc giữa tia sáng và mặt sàn sân khấu.

Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà sao cho nền nhà thuộc mặt phẳng (Oxy), người ta coi mỗi mái nhà là một phần của mặt phẳng và thấy ba vị trí A, B, C ở mái nhà bên phải lần lượt có tọa độ (1; 0; 3), (5; 0; 1), (5; 9; 1). Góc giữa mái nhà bên phải và nền nhà bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trong không gian Oxyz, tại một phạm vi hẹp,  (Oxy) là mặt phẳng nằm ngang. Một đường uống nước thẳng đi qua hai điểm A(1; 1; 2) và B(1; 2; 1). Hỏi đường ống nước nói trên nghiêng bao nhiêu độ (so với mặt phẳng nằm ngang).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường băng của một sân bay thuộc trục Ox. Một máy bay sau khi chạy đà trên đường băng đã cất cạnh tại điểm A(2; 0; 0) với vận tốc không đổi trong khoảng thời gian ngắn ban đầu, vectơ vận tốc \(\overrightarrow v  = \left( {2;\,\,0;\,\,1} \right)\). Hỏi trong khoảng thời gian ngắn nói trên, máy bay chuyển động có góc cất cánh gần với giá trị nào sau đây?

Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Trong đó mặt phẳng nghiêng (P) có phương trình 4x + 11z + 5 = 0 và mặt sàn (Q) có phương trình z – 1 = 0.

Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ vị trí A(1; -2; 6) hướng đến vị trí B(0; 2; -4), bia chắn là mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 8 = 0, đơn vị là km.

Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo km) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay, một máy bay đang ở vị trí A(4; -5; 1) sẽ hạ cánh khẩn cấp ở vị trí B(1; 2; 0) trên đường băng EG.