Bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải)

4.6 457 lượt thi 10 câu hỏi

Câu 1/10

Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3 D trong không gian Oxyz. Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là:

$d:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{9}$.

Lời giải

Đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (2;1; - 1),\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;3;9)$

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|2.3 + 1 \cdot 3 + ( - 1) \cdot 9|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {3^2} + {9^2}} }} = \frac{0}{{3\sqrt {66} }} = 0$. Suy ra

(d, d^{'}) = 90^{°}

Câu 2/10

Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ Oxyz. Tính góc giữa tia sáng có phương trình $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1 + t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$ và mặt sàn sân khấu có phương trình $z = 0$.

Lời giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec a = (0;1;1)$

Mặt phẳng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (0;0;1)$

$\sin (d,(P)) = \frac{{|0.0 + 1.0 + 1 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$. Suy ra

(d, (P)) = 45^{°}

Câu 3/10

Để làm thí nghiệm về chuyền động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ Oxyz. Tính góc giũ̃a mặt phằng nghiêng $(P)$ : $4x + 11z + 5 = 0$ và mặt ${\rm{sàn}}(Q):z - 1 = 0$.

Lời giải

Mặt phẳng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (4;0;11)$

Mặt phẳng $({\rm{Q}})$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n^\prime }} = (0;0;1)$

Có $\cos ((P),(Q)) = \frac{{|4.0 + 0.0 + 11.1|}}{{\sqrt {{4^2} + {{11}^2}} \cdot \sqrt {{1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {173} }}$. Suy ra

((P), (Q)) \approx {33,25}^{°}

Câu 4/10

Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng $(P):2x + 2z + 1 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):x + z + 7 = 0$.

a) Tính góc giữa $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$.

b) Tính góc hợp bời $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ với mặt đất $(Q)$ có phương trình $z = 0$.

Lời giải

a) Mặt phảng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2;0;2)$

Mặt phắng $\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n^\prime }} = (1;0;1)$

$\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|2.1 + 0.0 + 2.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{4} = 1$. Suy ra ((P),(P’)) $= 0^{°}$ .

b) Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = (0;0;1)$

$\cos ((P),(Q)) = \frac{{|2.0 + 0.0 + 2.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2}} }} = \frac{2}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{. }}$ Suy ra ((P), (Q)) $= 45^{°}$ .

$\cos \left( {\left( {{P^\prime }} \right),(Q)} \right) = \frac{{|1.0 + 0.0 + 1.1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{. }}$Suy ra $((P^{'}), (Q)) = 45^{°}$ .

Mặt phắng ( ${{\rm{O}}^\prime }{\rm{BC}}$ ) có phương trình đoạn chắn là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + 6{\rm{y}} + 3{\rm{z}} = 6$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2;6;3)$

$\cos \left( {\left( {{O^\prime }BC} \right),(OBC)} \right) = \frac{{|3|}}{{\sqrt 1 \cdot \sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{7}$. Suy ra $((O^{'} B C), (O B C)) \approx {64,62}^{°}$ .

c) Đường thằng ${B^\prime }C$ nhận $\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 3;1; - 2)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng ( O ' BC ) có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2;6;3)$

$\sin \left( {{B^\prime }C,\left( {{O^\prime }BC} \right)} \right) = \frac{{|( - 3) \cdot 2 + 1 \cdot 6 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{{( - 3)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }}$. Suy ra $(B^{'} C_{,} (O^{'} B C)) \approx {13,24}^{°}$ .

Câu 5/10

Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như Hình 34. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ toạ độ phù hợp, các điểm $O$ (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là $O(0;0;0),A(3; - 4;2)$, $B( - 5; - 2;1)$, đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét.

Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm $(0;0;5)$ và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng.

a) Tính độ dài của mỗi dây neo được sử dụng.

b) Tính góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Lời giải

a) Do điểm $C(0;0;5)$ nên $AC = \sqrt {{{(3 - 0)}^2} + {{( - 4 - 0)}^2} + {{(2 - 5)}^2}} = \sqrt {34} (\;{\rm{m}})$;

$BC = \sqrt {{{( - 5 - 0)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2} + {{(1 - 5)}^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 (\;{\rm{m}}){\rm{. }}$

b) Ta có: $\overrightarrow {OA} = (3; - 4;2),\overrightarrow {OB} = ( - 5; - 2;1)$ nên $[\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4}&2\\{ - 2}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\{ - 5}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = (0; - 13; - 26){\rm{. }}$

Vì thế, vectơ $\vec n = (0;1;2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(OAB)$.

Mặt khác, do $\overrightarrow {CA} = (3; - 4; - 3),\overrightarrow {BC} = (5;2;4)$ nên ta có:

- $\sin (CA,(OAB)) = |\cos (\overrightarrow {CA} ,\vec n)| = \frac{{|\overrightarrow {CA} \cdot \vec n|}}{{|\overrightarrow {CA} | \cdot |\vec n|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + ( - 4) \cdot 1 + ( - 3) \cdot 2|}}{{\sqrt {34} \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{10}}{{\sqrt {170} }}$,

suy ra $(C A, (O A B)) \approx 50^{°}$ . Vậy góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là khoảng $50^{°}$ .

${\rm{ - }}\sin (BC,(OAB)) = |\cos (\overrightarrow {BC} ,\vec n)| = \frac{{|\overrightarrow {BC} \cdot \vec n|}}{{|\overrightarrow {BC} | \cdot |\vec n|}} = \frac{{|5 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 2|}}{{3\sqrt 5 \cdot \sqrt 5 }} = \frac{2}{3}{\rm{, }}$

suy ra $(B C, (O A B)) \approx 42^{°}$ . Vậy góc tạo bởi dây neo BC và mặt phẳng sườn núi là khoảng $42^{°}$ .

Câu 6/10

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\vec u = (2; - 2;1)$ vởi tốc độ là $4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}$ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét) (Hình 35).

a) Viết phương trình đường cáp.

b) Giả sử sau $t(\;{\rm{s}})$ kể từ lúc xuất phát $(t \ge 0)$, cabin đến điểm $M$. Tìm tọa độ của điểm $M$.

c) Cabin dừng ở điểm $B$ có hoành độ ${x_B} = 550$. Tìm độ dài quãng đường AB (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

d) Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) góc bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)?

Lời giải

a) Phương trình chính tắc của đường cáp là: $\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}$.

b) Do tốc độ chuyển động của cabin là $4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}$ nên độ dài AM bằng $4,5t(\;{\rm{m}})$. Vì vậy $|\overrightarrow {AM} | = 4,5t(t \ge 0)$.

Do hai vectơ $\overrightarrow {AM} $ và $\vec u$ là cùng phương và cùng hướng nên $\overrightarrow {AM} = k\vec u$ với $k$ là số thực dương nào đó. Suy ra: $|\overrightarrow {AM} | = k|\vec u| = k \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + 1} = 3k$. Do đó $3k = 4,5t$. Suy ra $k = \frac{{3t}}{2}$. Vì thế, ta có: $\overrightarrow {AM} = \frac{{3t}}{2}\vec u = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)$.

Gọi toạ độ của điểm $M$ là $\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)$.

Do $\overrightarrow {AM} = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A};{z_M} - {z_A}} \right) = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + {x_A}}\\{{y_M} = - 3t + {y_A}}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2} + {z_A}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + 10}\\{{y_M} = - 3t + 3}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2}.}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy điểm $M$ có toạ độ là $\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)$.

c) Do ${x_B} = 550$ nên $3t + 10 = 550$, tức là $t = 180$ (s). Do đó, ta có điểm $B(550; - 537;270)$.

Vậy $AB = \sqrt {{{(550 - 10)}^2} + {{( - 537 - 3)}^2} + {{(270 - 0)}^2}} = \sqrt {656100} = 810(\;{\rm{m}})$.

d) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\vec u = (2; - 2;1)$ và mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến $\vec k = (0;0;1)$. Do đó, ta có: $\sin (\Delta ,(Oxy)) = |\cos (\vec u,\vec k)| = \frac{{|\vec u \cdot \vec k|}}{{|\vec u| \cdot |\vec k|}} = \frac{1}{{3 \cdot 1}} = \frac{1}{3}.$ Vậy

(Δ, (O x y)) \approx 19^{°}

Câu 7/10