Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Học sinh cũng đã học
Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2026-2027 THPT Việt Đức (Hà Nội) có đáp án
Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Lê Trọng Tấn (TP.HCM) có đáp án
Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Thủ Đức (TP.HCM) có đáp án
Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Ngô Quyền (TP.HCM) có đáp án
Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Mạc Đĩnh Chi (TP.HCM) có đáp án
Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THCS - THPT Trần Cao Vân (TP.HCM) có đáp án
Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Bùi Thị Xuân (TP.HCM) có đáp án
Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Marie Curie (TP.HCM) có đáp án
Danh sách câu hỏi:
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian, kí hiệu ( d , d') là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với d và d'.
b) \(\vec b = ( - 2; - 1; - 3) = - \vec a\). Do đó \(\vec b\) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d .
c) vi \(\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' nên:
Do đó
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) \(d\) và \({d^\prime }\) có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec a = (1;2;1)\) và \({\vec a^\prime } = (1;1;2)\).
Ta có . Suy rab) \(d\) và \({d^\prime }\) có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec a = (1;2;2)\) và \({\vec a^\prime } = ( - 2; - 2;1)\).
Ta có \(\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}\). Suy rac) \(d\) và \({d^\prime }\) có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec a = (1;2; - 1)\) và \({\vec a^\prime } = (2;4;10)\).
Ta có \(\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot 10|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{10}^2}} }} = 0\). Suy raĐăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Đường thẳng d và \({{\rm{d}}^\prime }\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = (3;5;4),\overrightarrow {{a^\prime }} = (2;5; - 4)\)
Ta có \(\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|3 \cdot 2 + 5.5 + 4 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {5^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{{15}}{{15\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\). Suy rab) Đường thẳng d và \({{\rm{d}}^\prime }\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = (3;6;6),\overrightarrow {{a^\prime }} = ( - 10; - 10;5)\)
Ta có \(\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|3 \cdot ( - 10) + 6 \cdot ( - 10) + 6 \cdot 5|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} \cdot \sqrt {{{( - 10)}^2} + {{( - 10)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{60}}{{135}} = \frac{4}{9}\). Suy rac) Đường thẳng d và \({{\rm{d}}^\prime }\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = (2;1; - 5),\overrightarrow {{a^\prime }} = (1;1;1)\)
Ta có \(\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + ( - 5) \cdot 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 5)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt {10} }}\). Suy raĐăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2;1)\). Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1;0;1)\).
Ta có \(\sin (d,(P)) = \frac{{|2.1 + 2.0 + 1.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Suy rab) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1;2; - 1)\). Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2;4; - 2)\).
Ta có \(\sin (d,(P)) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 1\). Suy raĐăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (3;1; - 2)\)
Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (6;2; - 4)\)
Khi đó \(\sin (d,(P)) = \frac{{|3 \cdot 6 + 1 \cdot 2 + ( - 2) \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{6^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{{28}}{{28}} = 1\). Suy rab) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (2;4;2)\)
Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2;2; - 4)\)
Khi đó \(\sin (d,(P)) = \frac{{|2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{4}{{24}} = \frac{1}{6}\). Suy rac) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (4;4;2)\)
Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (0;2; - 4)\)
Khi đó \(\sin (d,(P)) = \frac{{|4 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 0\). Suy raĐăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) \((P)\) và \(\left( {{P^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = (1;1; - 2),{\vec n^\prime } = (3; - 5;1)\).
Ta có \(\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1.3 + 1 \cdot ( - 5) + ( - 2) \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {{( - 5)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {210} }}\). Suy ra .
b) \((P)\) và \(\left( {{P^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = (1;1;0),{\vec n^\prime } = (0;1;1)\).
Ta có \(\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1.0 + 1 \cdot 1 + 0.1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}\). Suy ra .
c) \((P)\) và \(\left( {{P^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = (2;4; - 1),{\vec n^\prime } = (3;5;26)\).
Ta có \(\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|2.3 + 4 \cdot 5 + ( - 1) \cdot 26|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {5^2} + {{26}^2}} }} = 0\). Suy ra
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Trong không gian Oxyz, ta có \(C(2;3;0),\overrightarrow {SC} = (2;3; - 2)\); \(\overline {BD} = ( - 2;3;0)\).
a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec u = (2;3; - 2),\vec v = ( - 2;3;0)\).
Ta có \(\cos (SC,BD) = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{|2 \cdot ( - 2) + 3 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {221} }}\).
Suy ra .
b) Ta có phương trình mặt phẳng \((SBD)\) theo đoạn chắn là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1\) hay \(3x + 2y + 3z - 6 = 0\).
Mặt phẳng \((SBD)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (3;2;3)\), mặt đáy \((ABCD)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec k = (0;0;1)\). Gọi \(\alpha \) là góc giũua mặt phẳng \((SBD)\) và mặt đáy.
Ta có \(\cos \alpha = \frac{{|\vec n \cdot \vec k|}}{{|\vec n| \cdot |\vec k|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {22} }}\). Suy ra .
c) Gọi \(\beta \) là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng \((SBD)\).
Ta có \(\sin \beta = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {374} }}\). Suy ra .
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) và \(\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là
\(\vec n = (3;7; - 1),\overrightarrow {{n^\prime }} = (1;1; - 10) \Rightarrow \cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|3 \cdot 1 + 7 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 10)|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 10)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {59} \cdot \sqrt {102} }}\)
Suy ra ((P), (P')) .
b) Mặt phằng \(({\rm{P}})\) và \(\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là
\(\vec n = (1; - 2;1),\overrightarrow {{n^\prime }} = (3;1; - 5) \Rightarrow \cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 1 + 1 \cdot ( - 5)|}}{{\sqrt {1 + {{( - 2)}^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 5)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {210} }}\)
Suy ra ((P), (P')) .
c) Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) và \(\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là
\(\vec n = (1;0;1),\overrightarrow {{n^\prime }} = (0;3;3) \Rightarrow \cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1.0 + 0.3 + 1.3|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {36} }} = \frac{1}{2}\). Suy ra .
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Xem tiếp với tài khoản VIP
Còn 35/43 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập