a) Góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian, kí hiệu ( d , d') là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với d và d'.

b) $\vec b = ( - 2; - 1; - 3) = - \vec a$. Do đó $\vec b$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d .

c) vi $\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} $ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' nên:

$+) (d, d^{'}) = (\vec{a}, \vec{a^{'}}) nếu 0^{°} \leq (\vec{a}, \vec{a^{'}}) \leq 90^{°}$

$+) (d, d^{'}) = 180^{°} - (\vec{a}, \vec{a^{'}}) nếu 90^{°} < (\vec{a}, \vec{a^{'}}) \leq 180^{°} .$ Do đó $Do dó \cos (d, d^{'}) = |\cos (\vec{a}, \vec{a^{'}})| = |\cos (\vec{b}, \vec{a^{'}})|$

\cos (d, d^{'}) = |\cos (\vec{a}, \vec{a^{'}})| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{a^{'}}|}{| \vec{a} | |\vec{a^{'}}|} = \frac{| 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot (- 8) |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + 2^{2} + {(- 8)}^{2}}} = \frac{16}{7 \sqrt{22}}

Câu 2/43

Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$;

b) d: $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 3 + 4{t^\prime }}\\{z = 10{t^\prime }.}\end{array}} \right.$

Lời giải

a) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;1)$ và ${\vec a^\prime } = (1;1;2)$.

Ta có

\cos (d, d^{'}) = \frac{| 1.1 + 2.1 + 1.2 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{6}

. Suy ra

(d, d^{'}) \approx 33^{°} 33^{'}

b) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;2)$ và ${\vec a^\prime } = ( - 2; - 2;1)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}$. Suy ra

(d, d^{'}) \approx 63^{°} 36^{'}

c) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2; - 1)$ và ${\vec a^\prime } = (2;4;10)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot 10|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{10}^2}} }} = 0$. Suy ra

(d, d^{'}) = 90^{°}

Câu 3/43

Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi truoờng hợp sau:

a) d: $\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}$;

b) $d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 9 - 10t}\\{y = 7 - 10t}\\{z = 15 + 5t}\end{array}} \right.$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 23 + 2t}\\{y = 57 + t}\\{z = 19 - 5t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 24 + {t^\prime }}\\{y = 6 + {t^\prime }}\\{z = {t^\prime }}\end{array}} \right.$

Lời giải

a) Đường thẳng d và ${{\rm{d}}^\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (3;5;4),\overrightarrow {{a^\prime }} = (2;5; - 4)$

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|3 \cdot 2 + 5.5 + 4 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {5^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{{15}}{{15\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}$. Suy ra

(d, d^{'}) \approx {71,57}^{°}

b) Đường thẳng d và ${{\rm{d}}^\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (3;6;6),\overrightarrow {{a^\prime }} = ( - 10; - 10;5)$

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|3 \cdot ( - 10) + 6 \cdot ( - 10) + 6 \cdot 5|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} \cdot \sqrt {{{( - 10)}^2} + {{( - 10)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{60}}{{135}} = \frac{4}{9}$. Suy ra

(d, d^{'}) \approx {63,61}^{°}

c) Đường thẳng d và ${{\rm{d}}^\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (2;1; - 5),\overrightarrow {{a^\prime }} = (1;1;1)$

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + ( - 5) \cdot 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 5)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt {10} }}$. Suy ra

(d, d^{'}) \approx {77,83}^{°}

Câu 4/43

Tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và $(P):x + z + 24 = 0$;

b) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.$ và $(P):2x + 4y - 2z + 23 = 0$.

Lời giải

a) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec a = (2;2;1)$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (1;0;1)$.

Ta có $\sin (d,(P)) = \frac{{|2.1 + 2.0 + 1.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$. Suy ra

(d, (P)) = 45^{°}

b) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec a = (1;2; - 1)$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2;4; - 2)$.

Ta có $\sin (d,(P)) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 1$. Suy ra

(d, (P)) = 90^{°}

Câu 5/43

Tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 11 + 3t}\\{y = - 11 + t}\\{z = - 21 - 2t}\end{array}} \right.$ và $(P):6x + 2y - 4z + 7 = 0$;

b) $d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}$ và $(P):2x + 2y - 4z + 1 = 0$;

c) d: $\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}$ và $(P):2y - 4z + 7 = 0$.

Lời giải

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec a = (3;1; - 2)$

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (6;2; - 4)$

Khi đó $\sin (d,(P)) = \frac{{|3 \cdot 6 + 1 \cdot 2 + ( - 2) \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{6^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{{28}}{{28}} = 1$. Suy ra

(d, (P)) = 90^{°}

b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec a = (2;4;2)$

Mặt phẳng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2;2; - 4)$

Khi đó $\sin (d,(P)) = \frac{{|2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{4}{{24}} = \frac{1}{6}$. Suy ra

(d, (P)) \approx {9,59}^{°}

c) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec a = (4;4;2)$

Mặt phẳng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (0;2; - 4)$

Khi đó $\sin (d,(P)) = \frac{{|4 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 0$. Suy ra

(d, (P)) = 0^{°}

Câu 6/43

Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P):x + y - 2z + 9 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0$;

b) $(P):x + y + 24 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):y + z + 24 = 0$;

c) $(P):2x + 4y - z + 23 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x + 5y + 26z + 2025 = 0$.

Lời giải

a) $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec n = (1;1; - 2),{\vec n^\prime } = (3; - 5;1)$.

Ta có $\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1.3 + 1 \cdot ( - 5) + ( - 2) \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {{( - 5)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {210} }}$. Suy ra $((P), (P^{'})) \approx 73^{°} 59^{'}$ .

b) $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec n = (1;1;0),{\vec n^\prime } = (0;1;1)$.

Ta có $\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1.0 + 1 \cdot 1 + 0.1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}$. Suy ra $((P), (P^{'})) = 60^{°}$ .

c) $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec n = (2;4; - 1),{\vec n^\prime } = (3;5;26)$.

Ta có $\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|2.3 + 4 \cdot 5 + ( - 1) \cdot 26|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {5^2} + {{26}^2}} }} = 0$. Suy ra

((P), (P^{'})) = 90^{°}

Câu 7/43

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $SA \bot (ABCD)$. Cho biết $A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;3;0),S(0;0;2)$.

Tính góc giũa:

a) hai đường thằng SC và BD.

b) mặt phẳng (SBD) và mặt đáy;

c) đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Lời giải

Trong không gian Oxyz, ta có $C(2;3;0),\overrightarrow {SC} = (2;3; - 2)$; $\overline {BD} = ( - 2;3;0)$.

a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là $\vec u = (2;3; - 2),\vec v = ( - 2;3;0)$.

Ta có $\cos (SC,BD) = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{|2 \cdot ( - 2) + 3 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {221} }}$.

Suy ra $(S C, B D) \approx 70^{°} 21^{'}$ .

b) Ta có phương trình mặt phẳng $(SBD)$ theo đoạn chắn là $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1$ hay $3x + 2y + 3z - 6 = 0$.

Mặt phẳng $(SBD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (3;2;3)$, mặt đáy $(ABCD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec k = (0;0;1)$. Gọi $\alpha $ là góc giũua mặt phẳng $(SBD)$ và mặt đáy.

Ta có $\cos \alpha = \frac{{|\vec n \cdot \vec k|}}{{|\vec n| \cdot |\vec k|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {22} }}$. Suy ra $((S B D), (A B C D)) \approx 50^{°} 14^{'}$ .

c) Gọi $\beta $ là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Ta có $\sin \beta = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {374} }}$. Suy ra $(S C, (S B D)) \approx 18^{°} 4^{'}$ .

Câu 8/43

Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P):3x + 7y - z + 4 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):x + y - 10z + 2025 = 0$;

b) $(P):x + y - 2z + 9 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0$;

c) $(P):x + z + 3 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3y + 3z + 5 = 0$.

Lời giải

a) Mặt phẳng $({\rm{P}})$ và $\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\vec n = (3;7; - 1),\overrightarrow {{n^\prime }} = (1;1; - 10) \Rightarrow \cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|3 \cdot 1 + 7 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 10)|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 10)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {59} \cdot \sqrt {102} }}$

Suy ra ((P), (P')) $\approx {75,06}^{°}$ .

b) Mặt phằng $({\rm{P}})$ và $\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\vec n = (1; - 2;1),\overrightarrow {{n^\prime }} = (3;1; - 5) \Rightarrow \cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 1 + 1 \cdot ( - 5)|}}{{\sqrt {1 + {{( - 2)}^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 5)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {210} }}$

Suy ra ((P), (P')) $\approx {73,98}^{°}$ .

c) Mặt phẳng $({\rm{P}})$ và $\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\vec n = (1;0;1),\overrightarrow {{n^\prime }} = (0;3;3) \Rightarrow \cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1.0 + 0.3 + 1.3|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {36} }} = \frac{1}{2}$. Suy ra $((P), (P^{'})) = 60^{°}$ .

Câu 9/43