Người ta muốn dựng một cột ăng-ten trên một sườn đồi. Ăng-ten được dựng thẳng trong không gian Oxyz với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi O là gốc cột, A là điểm buộc dây cáp vào cột ăng-ten và M, N là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi. Cho biết tọa độ các điểm lần lượt là O(0; 0; 0), A(0; 0; 6), M(3; -4; 3), N(-5; -2; 2). Góc tạo bởi các sợi dây cáp MA với mặt phẳng sườn đồi bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Người ta muốn dựng một cột ăng-ten trên một sườn đồi. Ăng-ten được dựng thẳng trong không gian Oxyz với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi O là gốc cột, A là điểm buộc dây cáp vào cột ăng-ten và M, N là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi. Cho biết tọa độ các điểm lần lượt là O(0; 0; 0), A(0; 0; 6), M(3; -4; 3), N(-5; -2; 2). Góc tạo bởi các sợi dây cáp MA với mặt phẳng sườn đồi bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 53.
Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( { - 3;\,\,4;\,\,3} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {MA} = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} = \sqrt {34} \approx 5,8\)(m)
Mặt phẳng (OMN) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {OM} = \left( {3;\,\, - 4;\,\,3} \right)\), \(\overrightarrow {ON} = \left( { - 5;\,\, - 2;\,\,2} \right)\) nên có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right] = \left( { - 2;\,\, - 21;\,\, - 26} \right)\).
Gọi a là góc tạo bởi MA với mặt phẳng (AMN).
Ta có:
sin a =\(\frac{{\left| {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + 4 \cdot \left( { - 21} \right) + 3 \cdot \left( { - 26} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 21} \right)}^2} + {{\left( { - 26} \right)}^2}} }} = \frac{{156}}{{\sqrt {38114} }}\)
\( \Rightarrow \alpha \approx 53^\circ \).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;0; - 2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0;9;0} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {18;0;36} \right)\).
Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0;2} \right)\).
Lại có, (Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;0;1} \right)\).
Ta có góc α là góc giữa mái nhà bên phải và nên nhà. Khi đó:
\(\cos \alpha = \frac{{\left| {1.0 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\) α ≈ 27°.
Câu 2
A. 9,5°;
B. 5,9°;
C. 10°;
D. 10,5°.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Vì ABCD.EFGH là hình hộp chữ nhật ta có:
AB = CD = EF = GH = 10, AE = BF = CG = DH = 7, AD = BC = EH = FG = 24.
Vì EFIK, HGIK là hình chữ nhật bằng nhau nên ta có tam giác IGF cân tại I và có chiều cao kẻ từ I bằng 1. Suy ra
E(0; 0; 7), F(10; 0; 7), G(10; 24; 7), H(0; 24; 7), I(10; 12; 8).
Khi đó \(\overrightarrow {EF} = \left( {10;0;0} \right),\overrightarrow {FI} = \left( {0;12;1} \right),\overrightarrow {HG} = \left( {10;0;0} \right),\overrightarrow {GI} = \left( {0; - 12;1} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {FI} } \right] = \left( {0; - 10;120} \right) = - 10\left( {0;1; - 12} \right)\),
\(\left[ {\overrightarrow {HG} ,\overrightarrow {GI} } \right] = \left( {0; - 10; - 120} \right) = - 10\left( {0;1;12} \right)\).
Do đó mặt phẳng (EFIK) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;1; - 12} \right)\).
Mặt phẳng (HGIK) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;1;12} \right)\).
Gọi φ là góc giữa hai mái nhà.
Ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {0.0 + 1.1 + \left( { - 12} \right).12} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{143}}{{145}}\) φ ≈ 9,5°.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. 37°;
B. 36°;
C. 21°;
D. 63°.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\frac{5}{{\sqrt {70} }}\);
B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt {70} }}\);
C. \(\frac{3}{{\sqrt {14} }}\);
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {14} }}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập