Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có tạo độ các đỉnh lần lượt là A(1; 1; 1), B(5; 1; 1), C(1; 5; 1) và D(1; 1; 7). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Gọi A'(x; y; z) là điểm sao cho AA' là một đường kính của mặt cầu (S). Tính T = (x + y)z.
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Phương trình mặt cầu lớp 12 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 70
Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 5} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a + 1 = {a^2} - 10a + 25\\{b^2} - 2b + 1 = {b^2} - 10b + 25\\{c^2} - 2c + 1 = {c^2} - 14c + 49\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\\c = 4\end{array} \right.\end{array}\)
Suy ra I(3; 3; 4).
Vì AA' là đường kính của mặt cầu nên I là trung điểm AA'.
Khi đó, ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + x}}{2} = 3\\\frac{{1 + y}}{2} = 3\\\frac{{1 + z}}{2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\\z = 7\end{array} \right.\).
Do đó, A'(5; 5; 7) Þ x = 5, y = 5, z = 7 Þ T = (x + y)z = (5 + 5)7 = 70.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{7}x + \frac{{15}}{7}y - \frac{{37}}{7}z = 0\);
B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{{14}}x + \frac{{15}}{{14}}y - \frac{{37}}{{14}}z = 0\);
C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{7}x - \frac{{15}}{7}y + \frac{{37}}{7}z = 0\);
D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{1}{{14}}x - \frac{{15}}{{14}}y + \frac{{37}}{{14}}z = 0\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
D. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có dạng:
A. x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0).
B. Vì O, A, B, C (S) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\4a - 2b - 6c + d = - 14\\ - 2a + 2b + d = - 2\\ - 4a - 2c + d = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{14}}\\b = - \frac{{15}}{{14}}\\c = \frac{{37}}{{14}}\\d = 0\end{array} \right.\).
Vậy phương trình mặt cầu cần lập: \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{7}x + \frac{{15}}{7}y - \frac{{37}}{7}z = 0\).
Câu 2
A. x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 4z = 0;
B. (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 9;
C. (x − 2)2 + (y − 4)2 + (z − 4)2 = 20;
D. x2 + y2 + z2 + 2x – 4y + 4z = 9.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
C. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có dạng:
D. x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0).
A. Vì O, A, B, C (S) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 8b + d = - 16\\ - 8c + d = - 16\\d = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 2\\d = 0\end{array} \right.\).
Bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = 3\).
Do đó (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 9.
Câu 3
A. x2 + y2 + z2 + 3x + y − z – 6 = 0;
B. (S) có tâm \(I\left( {\frac{{ - 3}}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\);
C. (S) có tâm \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\);
D. (S) có bán kính \(R = \frac{{\sqrt {35} }}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. x2 + y2 + z2 + 5x + 5y − 5z – 6 = 0;
B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{5}{2}z - 6 = 0\);
C. x2 + y2 + z2 +5x + 5y − 5z + 6 = 0;
D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{5}{2}z + 6 = 0\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. (x – 1)2 + (y − 1)2 + (z – 2)2 = 4;
B. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 4;
C. (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 2;
D. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 4.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\);
B. \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
C. \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\);
D. \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. x2 + y2 + z2 + x + y + z – 2 = 0;
B. x2 + y2 + z2 − x − y – z + 2 = 0;
C. x2 + y2 + z2 − x − y – z − 2 = 0;
D. x2 + y2 + z2 + x + y + z − 6 = 0.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập