Cho tam giác ABC đều, gọi D là điểm nằm trên BC thỏa mãn DC = 3DB. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Tính tỉ số \(\frac{R}{r}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi cạnh của tam giác đều ABC là a.

Ta có DC = 3DB nên \(DC = \frac{3}{4}BC\)=\(\frac{3}{4}a\)

Vì tam giác ABC là tam giác đều nên \(\widehat {ACD} = \widehat {ACB} = 60^\circ \).

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ADC, ta có:

\(A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} - 2AC\,.\,CD\,.\,\cos \widehat {ACD}\)

\( = {a^2} + {\left( {\frac{3}{4}a} \right)^2} - 2\,.\,a\,.\,\frac{3}{4}a\,.\,\cos 60^\circ \)=\(\frac{{13}}{{16}}{a^2}\)

Do đó \(AD = \frac{{\sqrt {13} }}{4}a\)

Diện tích tam giác ACD là

\(S = \frac{1}{2}AC\,.\,CD\,.\,\sin \widehat {ACD} = \frac{1}{2}\,.\,a\,.\,\frac{3}{4}a\,.\,\sin 60^\circ = \frac{{{a^2}3\sqrt 3 }}{{16}}\).

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC là

\(R = \frac{{AD\,.\,AC\,.\,DC}}{{4S}} = \frac{{\frac{{\sqrt {13} }}{4}a\,.\,a\,.\,\frac{3}{4}a}}{{4\,.\,\frac{{{a^2}\,.\,3\sqrt 3 }}{{16}}}} = \frac{{\sqrt {39} }}{2}a\).

Nửa chu vi tam giác ACD là

\(p = \frac{{AD + AC + CD}}{2} = \frac{{\frac{{\sqrt {13} }}{4}a + a + \frac{3}{4}a}}{2} = \frac{{\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}{8}a\)

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ADC là

\[r = \frac{S}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}3\sqrt 3 }}{{16}}}}{{\frac{{\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}{8}a}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}a\];

\[\frac{R}{r} = \frac{{\frac{{\sqrt {39} }}{2}a}}{{\frac{{3\sqrt 3 }}{{2\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}a}} = \frac{{13 + 3\sqrt {13} }}{3}\].

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các góc nhọn α, β: cos 2α . cos 2β + cos 2α . sin 2β + sin 2α.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có cos 2α . cos 2β + cos 2α . sin 2β + sin 2α

= cos 2α(cos 2β + sin 2β) + sin 2α

= cos 2α . 1 + sin 2α = 1.

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AH và BC.

Xem đáp án

Lời giải

Ta thấy ngay có thể tính cạnh huyền của tam giác ABC:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 suy ra BC = 5 cm.

Vậy ta có độ dài hai cạnh góc vuông và cạnh huyền, giờ có thể tính BH và CH dựa vào công thức liên quan đến hình chiếu, cạnh huyền và cạnh góc vuông.

Ta có: AB² = BH.BC suy ra BH = \(\frac{{A{B^2}}}{{BC}}\)= \(\frac{{{3^2}}}{5}\)= \(\frac{9}{5}\) (cm)

Tương tự, AC² = HC.BC suy ra HC = \(\frac{{A{C^2}}}{{BC}}\)= \(\frac{{16}}{5}\) (cm)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC, ta có: h² = b’.c’.

Tức là AH² = BH . CH = \(\frac{{144}}{{25}}\) suy ra AH = \(\frac{{12}}{5}\) cm.

Câu 3