Cho biểu thức \[\frac{2}{{{x^2} - {y^2}}}\sqrt {\frac{{3{x^2} + 6xy + 3{y^2}}}{4}} \] (với x + y > 0)

(a) Rút gọn biểu thức;

(b) Tính giá trị biểu thức tại x = 1 và y = 2.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Rút gọn biểu thức:

Với x + y > 0

Ta có:

\[\frac{2}{{{x^2} - {y^2}}}\sqrt {\frac{{3{x^2} + 6xy + 3{y^2}}}{4}} \]

\[ = \frac{2}{{{x^2} - {y^2}}}\sqrt {3.\left( {\frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{4}} \right)} \]

\[ = \frac{2}{{{x^2} - {y^2}}} \cdot \sqrt 3 .\sqrt {\frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{4}} \]

\[ = \frac{2}{{{x^2} - {y^2}}} \cdot \sqrt 3 .\sqrt {\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{{2^2}}}} \]

\[ = \frac{2}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x + y} \right)}}{2} \cdot \sqrt 3 \]

\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{{x - y}}\]

Vậy biểu thức rút gọn là \[\frac{{\sqrt 3 }}{{x - y}}\]

b) Tính giá trị biểu thức tại x = 1 và y = 2.

Thay x = 1 và y = 2 vào biểu thức vừa rút gọn

\[\frac{{\sqrt 3 }}{{1 - 2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{ - 1}} = - \sqrt 3 \]

Vậy giá trị của biểu thức tại x = 1 và y = 2 là \[ - \sqrt 3 \]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB. Lấy điểm E đối xứng với A qua M.

(a) Tứ giác ACED là hình gì? Tại sao?

(b) Giả sử R = 6 cm và AM = 4 cm, hãy tính CD.

(c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CAvà CB. Chứng minh \({\rm{MH}} \cdot {\rm{MK}} = \frac{{M{C^3}}}{{2R}}.\)

Xem đáp án

Lời giải

a) Đường tròn (O, R) có đường kính CD, AB là dây mà AB ⊥ CD nên MC = MD.

Mà MA = ME nên tứ giác ACED là hình bình hành.

Mặt khác AE ⊥ CD nên ACED là hình thoi.

b) Do C nằm trên đường tròn đường kính AB nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ .\) Trong tam giác vuông ACB có MC là đường cao nên \(M{C^2} = MA \cdot MB = 4 \cdot (10 - 4) = 24 \Rightarrow MC = 2\sqrt 6 .\)

c) Áp dụng tính chất a . h = b . c trong tam giác vuông AMC có \(MH \cdot AC = MA \cdot MC \Rightarrow MH = \frac{{MA \cdot MC}}{{AC}}\)

Tương tự \(MK = \frac{{MB \cdot MC}}{{BC}}\)

Do đó \(MH \cdot MK = \frac{{MA \cdot MC}}{{AC}} \cdot \frac{{MB \cdot MC}}{{BC}} = \frac{{M{C^2} \cdot MA \cdot MB}}{{AC \cdot BC}} = \frac{{M{C^2} \cdot M{C^2}}}{{MC \cdot BC}} = \frac{{M{C^3}}}{{BC}}.\)

Ví dụ 2. Cho hình trụ có chu vi đáy là 8π và chiều cao h = 10. Tính thể tích hình trụ?

Ta có chu vi đáy là C = 2πR = 8π

Do đó R = 4

Thể tích hình trụ là: V = πR²h = π4²10 = 160π (đvtt)

Câu 2

Cho đường tròn (O) có bán kính 4 cm. Dây HK của đường tròn vuông góc với OI tại trung điểm của OI. Tính độ dài HK.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi M là trung điểm của OI. Ta có: \(OM = \frac{{OI}}{2} = 2\;{\rm{cm}}\)

Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông OMH ta có

OH² = OM² + MH², suy ra MH² = OH² – OM² = 4² – 2² = 12.

\(MH = 2\sqrt 3 \;{\rm{cm}}.\)

Vì OI ⊥ HK nên M là trung điểm của HK. Do đó: \(HK = 2MH = 4\sqrt 3 \;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Câu 3