Cho biểu thức \[N = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\]

(a) Rút gọn biểu thức N;

(b) Tính giá trị của N khi \[x = 11 - 6\sqrt 2 \];

(c) Tìm các giá trị của x nguyên để N nguyên.

a) Rút gọn biểu thức N:

\[N = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\,\left( {x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9} \right)\]

\[ = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 4\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\]

b) Ta có: \[x = 11 - 6\sqrt 2 = {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3 - \sqrt 2 \]

Thay \[\sqrt x = 3 - \sqrt 2 \] vào biểu thức N, ta được:

\[N = \frac{{3 - \sqrt 2 + 1}}{{3 - \sqrt 2 - 3}} = \frac{{4 - \sqrt 2 }}{{ - \sqrt 2 }} = \frac{{ - \sqrt 2 \left( { - 2\sqrt 2 + 1} \right)}}{{ - \sqrt 2 }} = - 2\sqrt 2 + 1\]

Giá trị của N khi \[x = 11 - 6\sqrt 2 \] là \[ - 2\sqrt 2 + 1\].

c) \[N = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 4}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}}\]

Để N nguyên khi \[1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\]

Suy ra

Vậy \[x \in \,\left\{ {1;4;16;25;49} \right\}\,\]để N nguyên