Cho biểu thức \[N = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\]

(a) Rút gọn biểu thức N;

(b) Tính giá trị của N khi \[x = 11 - 6\sqrt 2 \];

(c) Tìm các giá trị của x nguyên để N nguyên.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Rút gọn biểu thức N:

\[N = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\,\left( {x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9} \right)\]

\[ = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 4\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\]

b) Ta có: \[x = 11 - 6\sqrt 2 = {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3 - \sqrt 2 \]

Thay \[\sqrt x = 3 - \sqrt 2 \] vào biểu thức N, ta được:

\[N = \frac{{3 - \sqrt 2 + 1}}{{3 - \sqrt 2 - 3}} = \frac{{4 - \sqrt 2 }}{{ - \sqrt 2 }} = \frac{{ - \sqrt 2 \left( { - 2\sqrt 2 + 1} \right)}}{{ - \sqrt 2 }} = - 2\sqrt 2 + 1\]

Giá trị của N khi \[x = 11 - 6\sqrt 2 \] là \[ - 2\sqrt 2 + 1\].

c) \[N = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 4}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}}\]

Để N nguyên khi \[1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\]

Suy ra

Cho biểu thức N=(2cănx−9)/(x−5cănx+6)−(căn x+3)/(căn x−2)−((2 căn x+1)/(3−căn x) (a) Rút gọn biểu thức N; (b) Tính giá trị của N khi x=11−6 căn 2; (ảnh 1)

Vậy \[x \in \,\left\{ {1;4;16;25;49} \right\}\,\]để N nguyên

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hãy tính biểu thức A = sin²5° + sin²25° + sin²45° + sin²65° + sin²85°và so sánh A với 1.

Xem đáp án

Lời giải

Tính biểu thức A:

A = sin²5° + sin²25° + sin²45° + sin²65° + sin²85°

A = (sin²5° + sin²85°) + (sin²25° + sin²65°) + sin²45°

A = sin²90° + sin²90° + sin²45°

\[A = {\left( 1 \right)^2} + {\left( 1 \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\]

Ta thấy A có giá trị bằng \[\frac{5}{2} > 1\] do đó A > 1.

Câu 2

(a) Khử căn thức ở mẫu số: \[A = \frac{{59}}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 + \sqrt 7 }}\];

(b) Rút gọn các biểu thức sau: \[\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{2 - \sqrt 2 }}\];

Xem đáp án

Lời giải

a) \[A = \frac{{59}}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 + \sqrt 7 }}\]

\[A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 + \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}\]

\[A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}^2} - 7}}\]

\[A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}{{2\sqrt {15} + 1}}\]

\[A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\left( {2\sqrt {15} + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt {15} + 1} \right)\left( {2\sqrt {15} - 1} \right)}}\]

\[A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\left( {2\sqrt {15} + 1} \right)}}{{60 - 1}}\]

\[A = \left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\left( {2\sqrt {15} + 1} \right)\]

b) Cách 1: Phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn:

\[\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{2 - \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 7 .\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\]

Cách 2: Trục căn thức ở mẫu:

\[\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{2 - \sqrt 2 }} = \frac{{\left( {\sqrt {14} - \sqrt 7 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{2\sqrt {14} - 2\sqrt 7 + \sqrt {28} - \sqrt {14} }}{{{2^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}\\ = \frac{{2\sqrt {14} - 2\sqrt 7 + 2\sqrt 7 - \sqrt {14} }}{{4 - 2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\end{array}\]

Câu 3