Cho tam giác ABC cân tại B, đường cao BH. Dựng hình chữ nhật BHCK, HI BC. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của IC và BK. Chứng minh rằng IA MN.

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi E là hình chiếu của M trên BN.

F = ME HI nên F là trực tâm của tam giác BHM.

Suy ra BF MH. (1)

Vì M là trung điểm IC, H là trung điểm AC (∆ABC cân) nên MH // IA. (2)

Xét tam giác IHC:

+ M là trung điểm IC

+ MF // HC (cùng vuông góc BH)

Suy ra F là trung điểm của IH và MF là đường trung bình của tam giác IHC.

Do đó MF // BN // HC và MF = BN = \(\frac{1}{2}\)HC.

Do đó tứ giác BFMN là hình bình hành.

Suy ra BF // MN. (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

Gọi H là giao điểm của AO và BC.

Cung AB và AC bằng nhau, suy ra AO BC.

BD BC CD là đường kính của đường tròn.

C, O, D thẳng hàng

Xét ∆ACO có: \[\cos \widehat {COH} = \frac{{A{O^2} + C{O^2} - A{C^2}}}{{2.AO.CO}} = \frac{{9 + 9 - 4}}{{2.3.3}} = \frac{7}{9}\]

\[HO = CO.\cos \widehat {COH} = \frac{7}{3}\]

Vì HO là đường trung bình của ∆BCD

\[BD = 2.HO = \frac{{14}}{3} \Rightarrow \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{\frac{{14}}{3}}}{{2.3}} = \frac{7}{9}\]

Ta thấy \(\widehat {BDA} = \widehat {CDA}\) (chắn hai cung bằng nhau AB và AC)

Suy ra AD là phân giác của góc D.

Do đó \[\frac{{{S_{BKD}}}}{{{S_{KCD}}}} = \frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{7}{9}\].

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

Vì MQ và NP lần lượt là đường trung bình của hai tam giác BEF và BDF nên

MQ // NP // BF và MQ = NP = \(\frac{1}{2}\)BF.

Suy ra MNPQ là hình bình hành.

Lại có MN là đường trung bình của tam giác DEF nên MN // AD.

Mà AD BF nên MN MQ

Khi đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 3