Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn tâm O. AO, BO, CO cắt các cạnh của tam giác lần lượt tại D, E, F. I là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O). Chứng minh rằng các điểm C, F, I thẳng hàng.

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Tam giác ABC đều nên F là trung điểm của AB và CO AB.

Do đó CF là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Xét tam giác ∆AOI và ∆BOI có:

$\widehat {OAI} = \widehat {OBI} = 90^\circ $

OA = OB = r

Cạnh OI chung

Do đó ∆AOI = ∆BOI (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Khi đó IA = IB hay I nằm trên đường trung trực của AB.

Vậy ba điểm C, F, I thẳng hàng.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

Gọi H là giao điểm của AO và BC.

Cung AB và AC bằng nhau, suy ra AO BC.

BD BC CD là đường kính của đường tròn.

C, O, D thẳng hàng

Xét ∆ACO có: \[\cos \widehat {COH} = \frac{{A{O^2} + C{O^2} - A{C^2}}}{{2.AO.CO}} = \frac{{9 + 9 - 4}}{{2.3.3}} = \frac{7}{9}\]

\[HO = CO.\cos \widehat {COH} = \frac{7}{3}\]

Vì HO là đường trung bình của ∆BCD

\[BD = 2.HO = \frac{{14}}{3} \Rightarrow \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{\frac{{14}}{3}}}{{2.3}} = \frac{7}{9}\]

Ta thấy $\widehat {BDA} = \widehat {CDA}$ (chắn hai cung bằng nhau AB và AC)

Suy ra AD là phân giác của góc D.

Do đó \[\frac{{{S_{BKD}}}}{{{S_{KCD}}}} = \frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{7}{9}\].

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

Vì MQ và NP lần lượt là đường trung bình của hai tam giác BEF và BDF nên

MQ // NP // BF và MQ = NP = $\frac{1}{2}$BF.

Suy ra MNPQ là hình bình hành.

Lại có MN là đường trung bình của tam giác DEF nên MN // AD.

Mà AD BF nên MN MQ

Khi đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 3