Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Lấy D, E thuộc AB và AC thỏa mãn: BD = AC < AD, CE = AB < AE. Gọi I là điểm chính giữa của cung BC có chứa A. Lấy H đối xứng với điểm I qua đoạn thẳng CB. Chứng minh rằng các điểm D, H, E thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: AD = AB + BD = CE + AC = AE

Suy ra ∆ADE cân ở A.

Lấy K trên DE sao cho CK // AD.

Suy ra ∆CEK cân ở C nên CE = CK = AB.

Khi đó tứ giác ABKC là hình bình hành.

Nên AK, BC, IH đồng quy tại trung điểm của BC, đồng thời cũng là trung điểm của 2 đoạn thẳng còn lại

Khi đó tứ giác AIKH là hình bình hành nên AI // HK.

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}\widehat E = \frac{{180^\circ - {{\widehat A}_1}}}{2} = \frac{{180^\circ - {{\widehat I}_1}}}{2} = {\widehat B_1}\\{\widehat B_1} = {\widehat A_2}\end{array} \right.\]

Suy ra \[\widehat E = {\widehat A_2}\], do đó AI // DE.

Mà K DE suy ra D, H, E thẳng hàng.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn tâm O, bán kính r = 3. Trên đường tròn lấy các điểm A, B, C sao cho AB = AC = 2. Qua B, kẻ đường thẳng song song với AO, cắt đường tròn tại D. AD cắt BC tại K. Tìm tỉ số diện tích giữa hai tam giác BKD và KCD.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi H là giao điểm của AO và BC.

Cung AB và AC bằng nhau, suy ra AO BC.

BD BC CD là đường kính của đường tròn.

C, O, D thẳng hàng

Xét ∆ACO có: \[\cos \widehat {COH} = \frac{{A{O^2} + C{O^2} - A{C^2}}}{{2.AO.CO}} = \frac{{9 + 9 - 4}}{{2.3.3}} = \frac{7}{9}\]

\[HO = CO.\cos \widehat {COH} = \frac{7}{3}\]

Vì HO là đường trung bình của ∆BCD

\[BD = 2.HO = \frac{{14}}{3} \Rightarrow \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{\frac{{14}}{3}}}{{2.3}} = \frac{7}{9}\]

Ta thấy $\widehat {BDA} = \widehat {CDA}$ (chắn hai cung bằng nhau AB và AC)

Suy ra AD là phân giác của góc D.

Do đó \[\frac{{{S_{BKD}}}}{{{S_{KCD}}}} = \frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{7}{9}\].

Câu 2

Cho hình chữ nhật ABCD, trên đoạn AD, AB lấy các điểm E, F. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của EF, FD, DB, BE. Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.

Xem đáp án

Lời giải

Vì MQ và NP lần lượt là đường trung bình của hai tam giác BEF và BDF nên

MQ // NP // BF và MQ = NP = $\frac{1}{2}$BF.

Suy ra MNPQ là hình bình hành.

Lại có MN là đường trung bình của tam giác DEF nên MN // AD.

Mà AD BF nên MN MQ

Khi đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 3