Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD (D BC), AB = a, AD = b. Chứng minh rằng $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{BA}}{{CA}}$, từ đó tìm tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ABC.

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD (D BC), AB = a, AD = b. Chứng minh rằng BD/CD = BA/CA, từ đó tìm tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ABC. (ảnh 1)

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của các điểm B, C trên đường thẳng AD.

BH // CK $\frac{{BH}}{{CK}} = \frac{{BD}}{{CD}}$ (1)

Xét ∆ABH và ∆ACK có:

$\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BAH} = \widehat {CAK}\\\widehat {AHB} = \widehat {AKC} = 90^\circ \end{array} \right.$

Do đó ∆ABH ᔕ ∆ACK (g.g)

$\frac{{BH}}{{CK}} = \frac{{AB}}{{AD}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Ta có: \[\frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.BH.AD}}{{\frac{1}{2}.CK.AD}} = \frac{{BH}}{{CK}} = \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{a}{b}\]

\[ \Rightarrow \frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{a}{{a + b}}\].

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn tâm O, bán kính r = 3. Trên đường tròn lấy các điểm A, B, C sao cho AB = AC = 2. Qua B, kẻ đường thẳng song song với AO, cắt đường tròn tại D. AD cắt BC tại K. Tìm tỉ số diện tích giữa hai tam giác BKD và KCD.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi H là giao điểm của AO và BC.

Cung AB và AC bằng nhau, suy ra AO BC.

BD BC CD là đường kính của đường tròn.

C, O, D thẳng hàng

Xét ∆ACO có: \[\cos \widehat {COH} = \frac{{A{O^2} + C{O^2} - A{C^2}}}{{2.AO.CO}} = \frac{{9 + 9 - 4}}{{2.3.3}} = \frac{7}{9}\]

\[HO = CO.\cos \widehat {COH} = \frac{7}{3}\]

Vì HO là đường trung bình của ∆BCD

\[BD = 2.HO = \frac{{14}}{3} \Rightarrow \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{\frac{{14}}{3}}}{{2.3}} = \frac{7}{9}\]

Ta thấy $\widehat {BDA} = \widehat {CDA}$ (chắn hai cung bằng nhau AB và AC)

Suy ra AD là phân giác của góc D.

Do đó \[\frac{{{S_{BKD}}}}{{{S_{KCD}}}} = \frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{7}{9}\].

Câu 2

Cho hình chữ nhật ABCD, trên đoạn AD, AB lấy các điểm E, F. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của EF, FD, DB, BE. Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.

Xem đáp án

Lời giải

Vì MQ và NP lần lượt là đường trung bình của hai tam giác BEF và BDF nên

MQ // NP // BF và MQ = NP = $\frac{1}{2}$BF.

Suy ra MNPQ là hình bình hành.

Lại có MN là đường trung bình của tam giác DEF nên MN // AD.

Mà AD BF nên MN MQ

Khi đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 3