Một quả cầu nặng m = 100 g được treo ở đầu một sợi dây nhẹ, không co dãn, dài l = 1 m (đầu kia của dây cố định). Truyền cho quả cầu ở vị trí cân bằng một vận tốc đầu \({v_0}\) theo phương ngang. Khi dây treo nghiêng góc \[\alpha {\rm{ }} = {30^0}\;\]so với phương thẳng đứng thì gia tốc của quả cầu có phương ngang. Cho \[g{\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }}m/{s^2}\], bỏ qua mọi ma sát.

a) Tìm vận tốc \[{v_0}\].

b) Tính lực căng dây và vận tốc của vật tại vị trí có góc lệch \[\alpha = {40^0}\].

* Khi K mở, cách mắc là \[({\rm{ }}{R_1}\;nt{\rm{ }}{R_3}\;){\rm{ }}//{\rm{ }}({\rm{ }}{R_2}\;nt{\rm{ }}{R_4}\;)\]

⇒ Điện trở tương đương của mạch ngoài là \[R = r + \frac{{4\left( {3 + {R_4}} \right)}}{{7 + {R_4}}}\]

⇒ Cường độ dòng điện trong mạch chính: \[I = \frac{U}{{1 + \frac{{4\left( {3 + {R_4}} \right)}}{{7 + {R_4}}}}}\]. Hiệu điện thế giữa hai điểm A và B là  \[{U_{AB}} = \frac{{\left( {{R_1} + {R_3}} \right)\left( {{R_2} + {R_4}} \right)}}{{{R_1} + {R_2} + {R_3} + {R_4}}}.I\]\[ \Rightarrow {I_4} = \frac{{{U_{AB}}}}{{{R_2} + {R_4}}} = \frac{{\left( {{R_1} + {R_3}} \right)I}}{{{R_1} + {R_2} + {R_3} + {R_4}}}\]

Thay số ta được \[I = \frac{{4U}}{{19 + 5{R_4}}}\]

* Khi K đóng, cách mắc là \[({R_1}\;//{\rm{ }}{R_2}\;){\rm{ }}nt{\rm{ }}({\rm{ }}{R_3}\;//{\rm{ }}{R_4}\;)\;\]

⇒ Điện trở tương đương của mạch ngoài là \[R\prime = r + \frac{{9 + 15{R_4}}}{{12 + 4{R_4}}}\]

⇒Cường độ dòng điện trong mạch chính lúc này là: \[I' = \frac{U}{{1 + \frac{{9 + 15{R_4}}}{{12 + 4{R_4}}}}}\]. Hiệu điện thế giữa hai điểm A và B là  \[{U_{AB}} = \frac{{{R_3}.{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}}.I'\]\[ \Rightarrow I_4^\prime = \frac{{{U_{AB}}}}{{{R_4}}} = \frac{{{R_3}.I'}}{{{R_3} + {R_4}}}\]

Thay số ta được \[I' = \frac{{12U}}{{21 + 19{R_4}}}\]

* Theo đề bài thì \[I_4^\prime = \frac{9}{5}.{I_4}\]; từ đó tính được \[{R_4} = 1\Omega \]

b/ Trong khi K đóng, thay R₄ vào ta tính được \[I_4 = 1,8A\]và  \[{I} = 2,4A \Rightarrow {U_{AC}} = {R_{AC}}.{I} = 1,8V\]

\[ \Rightarrow I_2 = \frac{{{U_{AC}}}}{{{R_2}}} = 0,6A\]

 Ta có: \[I_2 + {I_K} = I_4 \Rightarrow {I_K} = 1,2A\]

Gọi C là điểm gặp nhau, v là vận tốc dòng nước.

Theo đề bài: vận tốc 2 tàu so với dòng nước bằng nhau, ta gọi là V

Vì hai tàu xuất phát cùng lúc và gặp nhau tại C nên \[\;{t_1}\; = {\rm{ }}{t_3}\]\[\] (1)

Sau đó, 2 tàu quay trở lại tổng thời gian tàu A đi là 3 h, tàu B đi là 1,5 h.

\[{t_1}\; + {\rm{ }}{t_2}\; = {\rm{ }}3{\rm{ }}h\]

\[{t_3}\; + {\rm{ }}{t_{4\;}} = {\rm{ }}1,5{\rm{ }}h\]

Thời gian đi của tàu từ A tới C: \[{t_1} = \frac{{AC}}{{V + v}}\]

Thời gian về của tàu từ C tới A: \[{t_2} = \frac{{AC}}{{V - v}}\]

Thời gian tàu đi từ A cả đi lẫn về là: \[{t_1} + {t_2} = 3 \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{V + v}} + \frac{{AC}}{{V - v}} = AC\left( {\frac{1}{{V + v}} + \frac{1}{{V - v}}} \right){\mkern 1mu} = 3\] (2)

Thời gian đi của tàu từ B tới C: \[{t_3} = \frac{{BC}}{{V - v}}\]

Thời gian về của tàu từ C tới B: \[{t_4} = \frac{{BC}}{{V + v}}\]

Thời gian tàu đi từ B cả đi lẫn về là:

\[{t_3} + {t_4} = 1,5 \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{V - v}} + \frac{{BC}}{{V + v}} = BC\left( {\frac{1}{{V - v}} + \frac{1}{{V + v}}} \right) = 1,5\] (3)

Từ (2), (3) \[ \Rightarrow AC = 2BC \Rightarrow AC = \frac{2}{3}AB\] thay vào (1) được:

Mà thời gian đi của tàu từ A tới C bằng thời gian đi của tàu từ B tới C nên

\[\frac{{AC}}{{V + v}} = \frac{{BC}}{{V - v}} \Rightarrow V = 3v\]

Thay \[AC = \frac{2}{3}AB\] và \[V{\rm{ }} = {\rm{ }}3v\;\]vào (2)

\[\frac{2}{3}AB\left( {\frac{1}{{4v}} + \frac{1}{{2v}}} \right) = 3 \Rightarrow AB = 6v\] (4)

Để thời gian cả đi lẫn về của hai tàu như nhau thì hai tàu gặp nhau ở vị trí C’

\[ \Rightarrow \frac{{AC\prime }}{{V + v}} + \frac{{AC\prime }}{{V - v}} = \frac{{BC\prime }}{{V - v}} + \frac{{BC\prime }}{{V + v}} \Rightarrow AC\prime = BC\prime = \frac{{AB}}{2}\]

Khi xuất phát tàu B xuất phát trước tàu A một khoảng \[{t_0}\], ta có:

\[ \Rightarrow BC\prime \left( {\frac{1}{{V - v}} - \frac{1}{{V + v}}} \right) = {t_0} \Rightarrow \frac{{AB}}{2}\left( {\frac{1}{{2v}} - \frac{1}{{4v}}} \right) = {t_0}\]

Thay (4) vào \[ \Rightarrow {t_0} = \frac{{6v}}{2}.\frac{1}{{4v}} = 0,75{\mkern 1mu} h\]

Vậy tàu A phải xuất phát muộn hơn tàu B là 0,75 h = 45 phút.