Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \({\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{sin}}x\) là \({x_0} = \frac{m}{n}\pi \) (với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản, \(m,n \in {\mathbb{N}^ \bullet }\)). Tính giá trị của biểu thức \(m + 2n\).
___
Câu hỏi trong đề: Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 Hà Nội (có đáp án) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giải phương trình lượng giác:
\({\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{sin}}x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}{2x + \frac{\pi }{3}}&{ = x + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{3}}&{ = \pi - x + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}x&{ = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( 1 \right)}\\x&{ = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
- Tìm nghiệm dương nhỏ nhất từ họ (1): Với \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{3}\).
- Tìm nghiệm dương nhỏ nhất từ họ (2): Với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{9}\).
So sánh hai giá trị, ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất toàn cục là \({x_0} = \frac{{2\pi }}{9}\).
Suy ra \(m = 2,n = 9\). Giá trị biểu thức \(m + 2n = 2 + 2 \cdot 9 = 20\).
Đáp số: 20.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Để độ sâu mực nước bằng \(7{\rm{\;cm}}\), ta giải phương trình:
\(3{\rm{cos}}\left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 10 = 7 \Leftrightarrow 3{\rm{cos}}\left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) = - 3 \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) = - 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{12}} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow t = 8 + 24k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì thời gian xét trong một ngày nên điều kiện là \(0 \le t \le 24\):
\(0 \le 8 + 24k \le 24 \Leftrightarrow - 8 \le 24k \le 16 \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le k \le \frac{2}{3}\)
Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên chỉ có giá trị \(k = 0\) thỏa mãn \( \Rightarrow t = 8\).
Vậy vào thời điểm 8 giờ sáng trong ngày thì độ sâu của mực nước trong kênh đạt \(7{\rm{\;cm}}\).
Câu 2
Lời giải
Với mọi số thực \(x\), ta luôn có tập giá trị của hàm số sin là: \( - 1 \le {\rm{sin}}3x \le 1\).
Do đó, phương trình \({\rm{sin}}3x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \( - 1 \le m \le 1\).
Chọn D.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập