Giả sử khi một con sóng gợn qua một điểm trong một hồ nước, chiều cao của nước được mô hình hoá bởi hàm số \(h\left( t \right) = 6{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4}t} \right)\), trong đó \(h\left( t \right)\) là độ cao tính bằng centimet so với mặt nước yên tĩnh tại thời điểm t (tính bằng giây). Hỏi chu kì T của sóng bằng bao nhiêu?

Mô hình hóa bài toán: Cột đèn \(TO\) vuông góc với mặt đất tại \(O\). Bạn An đứng vuông góc với mặt đất tại \(A\) tạo thành đoạn thẳng \(AA' = 1,78{\rm{\;m}}\) (\(AA'{\rm{//}}TO\)). Bóng của An đổ dài thành đoạn \(AM\), tia sáng thẳng hàng qua các điểm \(T,A',M\).

Xét các tam giác vuông  và  vuông tại \(O\):

\(OA = \frac{{TO}}{{{\rm{tan}}\widehat {TAO}}} = \frac{{TO}}{{{\rm{tan}}55^\circ }}\)

\(OB = \frac{{TO}}{{{\rm{tan}}\widehat {TBO}}} = \frac{{TO}}{{{\rm{tan}}65^\circ }}\)

Vì cột đèn \(O\) nằm giữa \(A\) và \(B\) nên:

\(AB = OA + OB = TO \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan}}55^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan}}65^\circ }}} \right) = 10{\rm{\;m}}\)\( \Rightarrow TO = \frac{{10}}{{\frac{1}{{{\rm{tan}}55^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan}}65^\circ }}}}\).

Vì \(AA'{\rm{//}}TO\), áp dụng định lý Thales vào tam giác  ta có: \(\frac{{MO}}{{MA}} = \frac{{TO}}{{AA'}} \approx 4,816\).

Giá trị \(4,816\) nằm trong khoảng \(\left( {4;5} \right)\).

Chọn A.

a) Biến đổi phương trình về dạng cơ bản:

      \({\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = {\rm{cos}}\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)\)

      \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}{x - \frac{\pi }{6}}&{ = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{6}}&{ =  - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}x&{ = \frac{{3\pi }}{4} + \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\x&{ =  - \frac{{3\pi }}{4} + \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}x&{ = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi }\\x&{ =  - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \left\{ {\frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi ; - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

b) Chuyển vế phương trình:

      \({\rm{sin}}3x = {\rm{sin}}x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}{3x}&{ = x + k2\pi }\\{3x}&{ = \pi  - x + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}{2x}&{ = k2\pi }\\{4x}&{ = \pi  + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}x&{ = k\pi }\\x&{ = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\mid k \in \mathbb{Z}} \right\}\).