Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {6;2;1} \right),\,B\left( {2;\,3\,; - \,1} \right)\). Gọi điểm \(M\left( {0;b;c} \right) \in \left( {Oyz} \right)\) sao cho \(MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(b - \frac{1}{2}c\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Điểm \(M\left( {0;b;c} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).
Nhận thấy hoành độ của A và B cùng dấu (\({x_A} = 6 > 0,{x_B} = 2 > 0\)), do đó A và B nằm cùng một phía đối với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).
Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với A qua \(\left( {Oyz} \right) \Rightarrow A'\left( { - 6;2;1} \right)\).
Khi đó ta có \(MA = MA'\), suy ra \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\).
Giá trị nhỏ nhất đạt được khi M là giao điểm của đoạn thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {A'B} = \left( {8;1; - 2} \right)\). Phương trình đường thẳng \(A'B\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 8t}\\{y = 3 + t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
M thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên \({x_M} = 0 \Leftrightarrow 2 + 8t = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{4}\).
Thay t tìm tọa độ M: \(b = {y_M} = 3 + \left( { - \frac{1}{4}} \right) = \frac{{11}}{4}\); \(c = {z_M} = - 1 - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{4}} \right) = - \frac{1}{2}\).
Biểu thức cần tính: \(b - \frac{1}{2}c = \frac{{11}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{11}}{4} + \frac{1}{4} = 3\).
Đáp số: \(3\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Xét hàm số \(C\left( x \right) = \frac{{30x}}{{{x^2} + 2}}\) trên khoảng \(\left( {0;6} \right]\).
Đạo hàm: \(C'\left( x \right) = \frac{{30\left( {{x^2} + 2} \right) - 30x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = \frac{{60 - 30{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}\).
\(C'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 60 - 30{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \) (vì \(x > 0\)).
Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\sqrt 2 } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {\sqrt 2 ;6} \right)\). Do đó hàm số đạt cực đại tại \(x = \sqrt 2 \).
Giá trị cực đại là: \(C\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{{30\sqrt 2 }}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + 2}} = \frac{{30\sqrt 2 }}{4} = 7,5\sqrt 2 \approx 10,6\).
Đáp số: \(10,6\).
Lời giải
Đáp án:
Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) < 0\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^2} - x - 6\); \(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 3\).
Các giá trị nguyên của \(x\) thuộc khoảng \(\left( { - 2;3} \right)\) là: \(\left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\). Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên.
Đáp số: \(4\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
B. Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
C. Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
D. Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;1} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a. \(\vec a \cdot \vec b = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
b. \({\overrightarrow a ^2} = 1\).
c. \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 2\).
d. \({\left( {\vec a + \vec b} \right)^2} = 2 - \sqrt 2 \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập