Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {6;2;1} \right),\,B\left( {2;\,3\,; - \,1} \right)\). Gọi điểm \(M\left( {0;b;c} \right) \in \left( {Oyz} \right)\) sao cho \(MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(b - \frac{1}{2}c\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Điểm \(M\left( {0;b;c} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).
Nhận thấy hoành độ của A và B cùng dấu (\({x_A} = 6 > 0,{x_B} = 2 > 0\)), do đó A và B nằm cùng một phía đối với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).
Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với A qua \(\left( {Oyz} \right) \Rightarrow A'\left( { - 6;2;1} \right)\).
Khi đó ta có \(MA = MA'\), suy ra \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\).
Giá trị nhỏ nhất đạt được khi M là giao điểm của đoạn thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {A'B} = \left( {8;1; - 2} \right)\). Phương trình đường thẳng \(A'B\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 8t}\\{y = 3 + t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
M thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên \({x_M} = 0 \Leftrightarrow 2 + 8t = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{4}\).
Thay t tìm tọa độ M: \(b = {y_M} = 3 + \left( { - \frac{1}{4}} \right) = \frac{{11}}{4}\); \(c = {z_M} = - 1 - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{4}} \right) = - \frac{1}{2}\).
Biểu thức cần tính: \(b - \frac{1}{2}c = \frac{{11}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{11}}{4} + \frac{1}{4} = 3\).
Đáp số: \(3\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Xét hàm số \(y = \cos 2x + 3x + 2025\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\).
Đạo hàm: \(y' = - 2\sin 2x + 3\).
Vì \( - 1 \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow - 2 \le - 2\sin 2x \le 2 \Rightarrow 1 \le y' \le 5\), tức là \(y' > 0,\forall x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\).
Do đó hàm số luôn đồng biến trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\).
Giá trị nhỏ nhất là: \(y\left( { - \pi } \right) = \cos \left( { - 2\pi } \right) + 3 \cdot \left( { - \pi } \right) + 2025 = 1 - 3\pi + 2025 = 2026 - 3\pi \).
Giá trị lớn nhất là: \(y\left( \pi \right) = \cos \left( {2\pi } \right) + 3\pi + 2025 = 1 + 3\pi + 2025 = 2026 + 3\pi \).
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là: \(\left( {2026 - 3\pi } \right) + \left( {2026 + 3\pi } \right) = 4052\).
Đáp số: \(4052\).
Câu 2
a. \(\vec a \cdot \vec b = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
b. \({\overrightarrow a ^2} = 1\).
c. \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 2\).
d. \({\left( {\vec a + \vec b} \right)^2} = 2 - \sqrt 2 \).
Lời giải
a) ĐÚNG: \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos 45^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
b) ĐÚNG: \({\vec a^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} = {1^2} = 1\).
c) SAI: \(\left| {\vec a + \vec b} \right| = \sqrt {{{\vec a}^2} + 2\vec a \cdot \vec b + {{\vec b}^2}} = \sqrt {1 + \sqrt 2 + 1} = \sqrt {2 + \sqrt 2 } \ne 2\).
d) SAI: Từ câu c, \({\left( {\vec a + \vec b} \right)^2} = 2 + \sqrt 2 \), mệnh đề ghi sai dấu thành \(2 - \sqrt 2 \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(2\).
B. \(1\).
C. \(0\).
D. \(3\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
B. Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
C. Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
D. Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;1} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) lập thành một tam giác. Chu vi tam giác \(ABC\) lớn hơn \(35.\)
b. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\].
c. Tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \mathbb{R}.\)
d. Hàm số đã cho có đạo hàm là \[f'\left( x \right) = - 4{x^3} - 16x\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập