Cho điểm \(A\left( {3;2} \right)\) trên mặt phẳng toạ độ. Một đường thẳng đi qua \(A\) cắt trục hoành tại \(B\), cắt trục tung tại \(C\) tạo thành một tam giác \(OBC\) nằm trong góc phần tư thứ nhất, với \(O\) là gốc toạ độ.
Biết hoành độ điểm \(B\) là \(x = t\) với \(t > 3\). Hỏi \(t\) bằng bao nhiêu thì diện tích tam giác \(OBC\) là nhỏ nhất?
__
Câu hỏi trong đề: Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Củ Chi (TP.HCM) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Điểm \(B\) thuộc trục hoành nên có tọa độ \(B\left( {t;0} \right)\) với \(t > 3\).
Đường thẳng \(BC\) đi qua hai điểm \(B\left( {t;0} \right)\) và \(A\left( {3;2} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BA} = \left( {3 - t;2} \right)\). Vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\vec n = \left( {2;t - 3} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\): \(2\left( {x - t} \right) + \left( {t - 3} \right)\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + \left( {t - 3} \right)y - 2t = 0\).
Tìm tọa độ giao điểm \(C\) với trục tung (\(x = 0\)): Thay vào phương trình đường thẳng ta có
\(\left( {t - 3} \right)y = 2t \Rightarrow y = \frac{{2t}}{{t - 3}} \Rightarrow C\left( {0;\frac{{2t}}{{t - 3}}} \right)\).
Diện tích tam giác vuông \(OBC\) tại gốc tọa độ \(O\): \(S = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot t \cdot \frac{{2t}}{{t - 3}} = \frac{{{t^2}}}{{t - 3}}\).
Khảo sát hàm số diện tích \(S\left( t \right) = \frac{{{t^2}}}{{t - 3}}\) trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\):
\(S'\left( t \right) = \frac{{2t\left( {t - 3} \right) - {t^2}}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}} = \frac{{{t^2} - 6t}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}}\);
Cho \(S'\left( t \right) = 0 \Rightarrow {t^2} - 6t = 0 \Rightarrow t = 6\) (vì điều kiện \(t > 3\)).
Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \(t = 6\).
Đáp số: 6.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi hình chiếu vuông góc của vectơ lực \(\vec F\) lên mặt phẳng đáy \(\left( {Oxy} \right)\) là vectơ \({\vec F_{xy}}\).
Dựa theo mô tả trực quan từ hình vẽ, vectơ lực tạo với mặt đáy \(\left( {Oxy} \right)\) góc \(60^\circ \). Do đó, thành phần cao độ song song với trục đứng \(Oz\) là: \(z = \left| {\vec F} \right| \cdot \sin 60^\circ = 100 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 50\sqrt 3 \).
Độ lớn của vectơ hình chiếu trên mặt phẳng đáy là: \(\left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| = \left| {\vec F} \right| \cdot \cos 60^\circ = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50\).
Phân tích vectơ hình chiếu đáy \({\vec F_{xy}}\) lên hai trục tọa độ \(Ox\) và \(Oy\), góc hợp với trục \(Ox\) là \(45^\circ \), nằm ở vùng hoành độ dương và tung độ âm:
Hoành độ: \(x = \left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| \cdot \cos 45^\circ = 50 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 25\sqrt 2 \)
Tung độ: \(y = - \left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| \cdot \sin 45^\circ = - 50 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = - 25\sqrt 2 \)
Tọa độ vectơ lực thu được là \(\vec F = \left( {25\sqrt 2 ; - 25\sqrt 2 ;50\sqrt 3 } \right)\).
Tính giá trị biểu thức: \(x + y + z\sqrt 3 = 25\sqrt 2 + \left( { - 25\sqrt 2 } \right) + \left( {50\sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 = 0 + 50 \cdot 3 = 150\).
Đáp số: 150.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có \(\vec u = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {C'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow {AC} \).
Do đó, \(\left| {\vec u} \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\).
Với hình lập phương có cạnh bằng 3, mặt đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng 3. Độ dài đường chéo hình vuông là: \(AC = 3\sqrt 2 \).
Đồng nhất với dạng thức đề bài: \(3\sqrt 2 = a\sqrt b \Rightarrow a = 3\) và \(b = 2\).
Tính giá trị của \(T = 2a + b = 2 \cdot 3 + 2 = 8\).
Đáp số: 8.
Câu 3
A. \[\overrightarrow {A'C} = \left( {0;0; - 8} \right).\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập