Cho điểm \(A\left( {3;2} \right)\) trên mặt phẳng toạ độ. Một đường thẳng đi qua \(A\) cắt trục hoành tại \(B\), cắt trục tung tại \(C\) tạo thành một tam giác \(OBC\) nằm trong góc phần tư thứ nhất, với \(O\) là gốc toạ độ.
Biết hoành độ điểm \(B\) là \(x = t\) với \(t > 3\). Hỏi \(t\) bằng bao nhiêu thì diện tích tam giác \(OBC\) là nhỏ nhất?
__
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Điểm \(B\) thuộc trục hoành nên có tọa độ \(B\left( {t;0} \right)\) với \(t > 3\).
Đường thẳng \(BC\) đi qua hai điểm \(B\left( {t;0} \right)\) và \(A\left( {3;2} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BA} = \left( {3 - t;2} \right)\). Vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\vec n = \left( {2;t - 3} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\): \(2\left( {x - t} \right) + \left( {t - 3} \right)\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + \left( {t - 3} \right)y - 2t = 0\).
Tìm tọa độ giao điểm \(C\) với trục tung (\(x = 0\)): Thay vào phương trình đường thẳng ta có
\(\left( {t - 3} \right)y = 2t \Rightarrow y = \frac{{2t}}{{t - 3}} \Rightarrow C\left( {0;\frac{{2t}}{{t - 3}}} \right)\).
Diện tích tam giác vuông \(OBC\) tại gốc tọa độ \(O\): \(S = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot t \cdot \frac{{2t}}{{t - 3}} = \frac{{{t^2}}}{{t - 3}}\).
Khảo sát hàm số diện tích \(S\left( t \right) = \frac{{{t^2}}}{{t - 3}}\) trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\):
\(S'\left( t \right) = \frac{{2t\left( {t - 3} \right) - {t^2}}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}} = \frac{{{t^2} - 6t}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}}\);
Cho \(S'\left( t \right) = 0 \Rightarrow {t^2} - 6t = 0 \Rightarrow t = 6\) (vì điều kiện \(t > 3\)).
Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \(t = 6\).
Đáp số: 6.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm với \(Ox\): \( - {x^3} - 3{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 2\). Đồ thị chỉ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Do đó ý a) sai.
Đạo hàm: \(y' = - 3{x^2} - 6x = - 3x\left( {x + 2} \right)\). Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = - 2\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\), đồng biến trên \(\left( { - 2;0} \right)\). Do đó ý b) đúng.
Tọa độ hai điểm cực trị:
Với \(x = 0 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow A\left( {0;4} \right)\).
Với \(x = - 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow B\left( { - 2;0} \right)\).
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \(A\) và \(B\) là: \(y = 2x + 4\). Do đó ý c) đúng.
Giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\): Ta so sánh \(y\left( { - 1} \right) = 2\), \(y\left( 0 \right) = 4\), \(y\left( 2 \right) = - 16\). Vậy giá trị nhỏ nhất trên đoạn này là \( - 16\). Do đó ý d) sai.
Câu 2
Lời giải
Theo quy tắc hiệu véctơ trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).
Thay các vectơ đại diện theo đề bài vào hệ thức: \(\vec d = \vec c - \vec b \Leftrightarrow \vec b - \vec c + \vec d = \vec 0\).
Đáp án đúng: D.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập