Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tính \(a + b - c - d\).

___

Lời giải

Tổng số lượng bản in cần hoàn thành là \(N = 70.000\) bản.

Nếu dùng \(n\) máy hoạt động đồng thời, tổng số bản in xưởng thực hiện được trong một giờ là: \(3500 \cdot n\).

Thời gian hoàn thành công việc (tính bằng giờ) là: \(t = \frac{{70000}}{{3500n}} = \frac{{20}}{n}\) (giờ).

Tổng chi phí vận hành gồm chi phí ban đầu cho \(n\) máy và chi phí chạy trong thời gian \(t\):

Chi phí ban đầu: \(80n\) (nghìn đồng).

Chi phí thời gian: \(\left( {60n + 100} \right) \cdot t = \left( {60n + 100} \right) \cdot \frac{{20}}{n} = 1200 + \frac{{2000}}{n}\) (nghìn đồng).

Tổng chi phí cho quá trình in ấn là: \(C\left( n \right) = 80n + 1200 + \frac{{2000}}{n}\) (nghìn đồng).

Để đạt được lợi nhuận (lãi) cao nhất, ta cần tối thiểu hóa tổng chi phí \(C\left( n \right)\). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số dương \(80n\) và \(\frac{{2000}}{n}\) ta có:

\(80n + \frac{{2000}}{n} \ge 2\sqrt {80n \cdot \frac{{2000}}{n}} = 2\sqrt {160000} = 2 \cdot 400 = 800\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(80n = \frac{{2000}}{n} \Leftrightarrow {n^2} = \frac{{2000}}{{80}} = 25 \Rightarrow n = 5{\rm{\;(m\'a y)}}\).

Số máy \(n = 5\) thỏa mãn điều kiện thực tế (\(5 \le 18\)).

Kết quả: 5.

Vì \(D\) nằm trên đoạn thẳng \(BC\) và \(BD = 4DC\), nên hai vectơ \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và có tỉ lệ độ dài là 4. Ta có đẳng thức vectơ: \(\overrightarrow {BD} = 4\overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left( {{x_D} - {x_B};{y_D} - {y_B};{z_D} - {z_B}} \right) = 4\left( {{x_C} - {x_D};{y_C} - {y_D};{z_C} - {z_D}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} - 70 = 4\left( {420 - {x_D}} \right)}\\{{y_D} - 20 = 4\left( {120 - {y_D}} \right)}\\{{z_D} - 20 = 4\left( {120 - {z_D}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{x_D} = 1680 + 70 = 1750}\\{5{y_D} = 480 + 20 = 500}\\{5{z_D} = 480 + 20 = 500}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} = 350}\\{{y_D} = 100}\\{{z_D} = 100}\end{array}} \right.\).

Tọa độ của drone \(D\) là \(D\left( {350;100;100} \right)\).

Tính khoảng cách giữa drone \(A\left( {80;20;80} \right)\) và drone \(D\):

\(AD = \sqrt {{{\left( {350 - 80} \right)}^2} + {{\left( {100 - 20} \right)}^2} + {{\left( {100 - 80} \right)}^2}} \)\( \approx 282,31{\rm{\;(m)}}\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta thu được \(282\) mét.

Kết quả: 282.