Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tính \(a + b - c - d\).

___

Ý a): Đúng. Nhìn vào đồ thị, tại điểm \(x = 0\) ta có \(y = - 1 \Rightarrow d = - 1\).

Các điểm cực trị là \(x = 0\) và \(x = 2\). Do đó \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\) nhận \(x = 0\) và \(x = 2\) làm nghiệm.

\( \Rightarrow c = 0{\rm{\;v\`a \;12}}a + 4b = 0 \Rightarrow b = - 3a\).

Tại điểm \(x = 2\), hàm số đạt cực đại với \(y = 3\) nên

\(f\left( 2 \right) = a \cdot {2^3} + b \cdot {2^2} + d = 8a + 4b - 1 = 3 \Rightarrow 8a + 4 \cdot \left( { - 3a} \right) = 4 \Rightarrow - 4a = 4 \Rightarrow a = - 1\)

\( \Rightarrow b = 3;\;c = 0;\;d = - 1\).

Hàm số là: \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} - 1\).

Do đó \(a + b + c + d = - 1 + 3 + 0 - 1 = 1\).

Ý b): Đúng. Từ đồ thị, khoảng cách từ cực tiểu \(x = 0\) đến cực đại \(x = 2\) là khoảng đi lên của đồ thị (hàm số đồng biến). Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), suy ra nó đồng biến trên khoảng con \(\left( {0;1} \right)\).

Ý c): Đúng. Điểm cực đại của đồ thị là \(\left( {2;3} \right)\), do đó giá trị cực đại của hàm số bằng \(3\).

Ý d): Sai. Hai điểm cực trị của đồ thị là \({M_1}\left( {0; - 1} \right)\) và \({M_2}\left( {2;3} \right)\). Thay tọa độ vào phương trình đường thẳng \(\left( d \right):y = 3x - 1\):

Với \({M_1}\left( {0; - 1} \right)\): \( - 1 = 3 \cdot 0 - 1\) (Thỏa mãn).

Với \({M_2}\left( {2;3} \right)\): \(3 \ne 3 \cdot 2 - 1 = 5\) (Không thỏa mãn).

Áp dụng quy tắc hình hộp cho bốn điểm chung đỉnh \(A\), ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).

Tìm tọa độ các vectơ:

\(\overrightarrow {AB} = \left( {0 - \left( { - 3} \right);2 - 0;0 - 0} \right) = \left( {3;2;0} \right)\);

\(\overrightarrow {AD} = \left( {0 - \left( { - 3} \right);0 - 0;1 - 0} \right) = \left( {3;0;1} \right)\);

\(\overrightarrow {AA'} = \left( {1 - \left( { - 3} \right);2 - 0;3 - 0} \right) = \left( {4;2;3} \right)\).

Suy ra tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AC'} \) là: \(\overrightarrow {AC'} = \left( {3 + 3 + 4;2 + 0 + 2;0 + 1 + 3} \right) = \left( {10;4;4} \right)\).

Mà \(\overrightarrow {AC'} = \left( {{x_{C'}} - {x_A};{y_{C'}} - {y_A};{z_{C'}} - {z_A}} \right)\), do đó tọa độ điểm \(C'\) là \(C'\left( {7;4;4} \right)\).

Chọn B.