Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh \[a\]. Tích vô hướng hai vectơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {A'C'} \] bằng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) có \(A(4;6; - 5),B(5;7; - 4),C(5;6; - 4),{D^\prime }(2;0;2)\). Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên:

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,3} \right]\) bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(\vec a = \left( {2; - 3;3} \right)\), \(\vec b = \left( {0;2; - 1} \right)\), \(\vec c = \left( {3; - 1;5} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\vec u = 2\vec a + 3\vec b - 2\vec c\).

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 3\left( {7m - 3} \right)x\). Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số không có cực trị. Tổng tất cả các giá trị trong tập hợp S là?

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \[A\left( {0;\,\,0;\,\,0} \right)\], \[B\left( {3;\,\,0;\,\,0} \right)\], \[D\left( {0;\,\,3;\,\,0} \right)\], \[D'\left( {0;\,\,3;\,\, - 3} \right)\]. Toạ độ trọng tâm tam giác \(A'B'C\) là

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\), có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét. Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu \(MN\) bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh\(A'C\), điểm cuối thuộc cạnh \(BC'\)) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho \(MN\) ngắn nhất. Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng?