Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \).
a. \(\widehat {SDA} = 60^\circ \).
b. Độ dài của vectơ tổng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) bằng \(2a\sqrt 2 \).
c. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {DS} \) và \(\overrightarrow {DA} \) bằng \({a^2}\).
d. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(SC\). Côsin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {SO} \) và \(\overrightarrow {AM} \) bằng \(\frac{1}{{\sqrt {35} }}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) ĐÚNG: Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AD\).
Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) nên có \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SDA} = 60^\circ \).
b) SAI: Theo quy tắc hình bình hành, \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \). Độ dài của vectơ này chính là độ dài đường chéo hình vuông \(AC = a\sqrt 2 \), không phải \(2a\sqrt 2 \).
c) ĐÚNG: Ta phân tích: \(\overrightarrow {DS} \cdot \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AS} - \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {AD} } \right) = - \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AD} + {\overrightarrow {AD} ^2}\).
Vì \(SA \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\). Suy ra \(\overrightarrow {DS} \cdot \overrightarrow {DA} = A{D^2} = {a^2}\).
d) SAI: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa đặt gốc tại \(A\) và \(B,D,S\) lần lượt thuộc các tia \(Ox,Oy,Oz\) khi đó ta xác định được: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {a;0;0} \right)\), \(D\left( {0;a;0} \right)\), \(S\left( {0;0;a\sqrt 3 } \right)\), \(C\left( {a;a;0} \right)\).
Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(O\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {SO} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2}; - a\sqrt 3 } \right)\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(SC\) nên \(M\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\).
Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow {SO} ,\overrightarrow {AM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SO} \cdot \overrightarrow {AM} }}{{\left| {\overrightarrow {SO} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AM} } \right|}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{2}}}{{\sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} + 3{a^2}} \cdot \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = - \frac{{2\sqrt {70} }}{{35}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {35} }}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Gọi \(P\) là điểm trên bờ sông mà anh Ba chèo thuyền cập bến, đặt \(OP = x{\rm{\;km}}\) với \(0 \le x \le 8\).
- Quãng đường chèo thuyền dưới nước: \(AP = \sqrt {O{A^2} + O{P^2}} = \sqrt {{3^2} + {x^2}} = \sqrt {{x^2} + 9} \).
- Quãng đường chạy bộ trên bờ: \(PB = 8 - x\).
Tổng thời gian di chuyển (tính bằng giờ) là: \(T\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - x}}{{10}}\).
Lấy đạo hàm tìm giá trị nhỏ nhất: \(T'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{{10}}\).
Giải phương trình \(T'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} = \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow 10x = 6\sqrt {{x^2} + 9} \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt {{x^2} + 9} \).
Bình phương hai vế: \(25{x^2} = 9\left( {{x^2} + 9} \right) \Leftrightarrow 16{x^2} = 81 \Rightarrow x = \frac{9}{4} = 2,25{\rm{\;km}}\).
Thay \(x = 2,25\) vào hàm thời gian: \(T\left( {2,25} \right) = \frac{{\sqrt {2,{{25}^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - 2,25}}{{10}} = 1,2\) (giờ).
Đổi ra phút: \(1,2 \times 60 = 72{\rm{\;phút}}\).
Đáp án: 72.
Lời giải
Đáp án:
Ta tính đạo hàm của hàm hợp \(g\left( x \right)\): \(g'\left( x \right) = 4 \cdot f'\left( {3 + 4x} \right)\).
Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại các điểm mà đạo hàm \(g'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương.
Dựa vào đồ thị đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bài cho, ta thấy \(f'\left( x \right)\) cắt trục hoành và đổi dấu từ âm sang dương tại hai điểm là \(x = - 3\) và \(x = 2\).
Do đó, để \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu thì:
- Trường hợp 1: \(3 + 4x = - 3 \Leftrightarrow 4x = - 6 \Leftrightarrow = - 1,5\).
- Trường hợp 2: \(3 + 4x = 2 \Leftrightarrow 4x = - 1 \Leftrightarrow x = - 0,25\).
Theo giả thiết \(a < b\), suy ra \(a = - 1,5\) và \(b = - 0,25\).
Hiệu cần tính là: \(a - b = - 1,5 - \left( { - 0,25} \right) = - 1,25 \approx - 1,3\).
Đáp án: -1,3.
Câu 3
A. \(3\).
B. \(4\).
C. \(2\).
D. \(1\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\).
B. \(\left( { - 3;3} \right)\).
C. \(\left( { - 3;0} \right)\).
D. \(\left( {0;3} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
![Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [- 2;3] có đồ thị như hình vẽ dưới đây.Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1783438921/image8.png)
A. \( - 13\).
B. \( - 16\).
C. \( - 18\).
D. \( - 15\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\left( {1;2} \right)\).
B. \(\left( {3; + \infty } \right)\).
C. \(\left( {0;1} \right)\).
D. \(\left( {1;5} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\left( { - 1;2; - 3} \right)\).
B. \(\left( {2; - 3; - 1} \right)\).
C. \(\left( { - 3;2; - 1} \right)\).
D. \(\left( {2; - 1; - 3} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập