Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \).

a) ĐÚNG: Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AD\).

Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) nên có \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SDA} = 60^\circ \).

b) SAI: Theo quy tắc hình bình hành, \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \). Độ dài của vectơ này chính là độ dài đường chéo hình vuông \(AC = a\sqrt 2 \), không phải \(2a\sqrt 2 \).

c) ĐÚNG: Ta phân tích: \(\overrightarrow {DS} \cdot \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AS} - \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {AD} } \right) = - \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AD} + {\overrightarrow {AD} ^2}\).

Vì \(SA \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\). Suy ra \(\overrightarrow {DS} \cdot \overrightarrow {DA} = A{D^2} = {a^2}\).

d) SAI: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa đặt gốc tại \(A\) và \(B,D,S\) lần lượt thuộc các tia \(Ox,Oy,Oz\) khi đó ta xác định được: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {a;0;0} \right)\), \(D\left( {0;a;0} \right)\), \(S\left( {0;0;a\sqrt 3 } \right)\), \(C\left( {a;a;0} \right)\).

Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(O\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {SO} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2}; - a\sqrt 3 } \right)\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(SC\) nên \(M\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow {SO} ,\overrightarrow {AM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SO} \cdot \overrightarrow {AM} }}{{\left| {\overrightarrow {SO} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AM} } \right|}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{2}}}{{\sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} + 3{a^2}} \cdot \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = - \frac{{2\sqrt {70} }}{{35}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {35} }}\).