Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Nguyễn Hữu Huân (TP.HCM) có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm \(f'\left( x \right) > 0\) trên các khoảng \(\left( { - 3;0} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\). Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 3;0} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Đối chiếu với các phương án lựa chọn, khoảng \(\left( { - 3;0} \right)\) là phương án chính xác.

Chọn đáp án: C

Ta tính giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến ra vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = 2\).

Theo định nghĩa, đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án: C

Bộ ba số đứng trước các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) lần lượt là hoành độ, tung độ và cao độ của vectơ \(\vec a\).

Vì \(\vec a = - 1\vec i + 2\vec j - 3\vec k\) nên tọa độ của \(\vec a\) là \(\left( { - 1;2; - 3} \right)\).

Chọn đáp án: A

Vì \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh \(a\) nên tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Do đó, góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).

Áp dụng công thức tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = {a^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Chọn đáp án: A

Trong hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\), mặt bên \(ABB'A'\) và các mặt đối diện có các cạnh song song và bằng nhau.

Cụ thể, tứ giác \(CDD'C'\) và \(ABCD\) là các hình chữ nhật, ta có cạnh \(AB\) song song và bằng cạnh \(D'C'\), đồng thời vectơ \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {D'C'} \). Do đó, \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {D'C'} \).

Chọn đáp án: A

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, ta thấy:

• Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\), đạo hàm \(y' > 0\) và đi lên tới \(2\) (vị trí không xác định tại \(x = - 1\)).
• Trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\), đạo hàm \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm \(x = 3\).

Do \(y'\) chỉ đổi dấu duy nhất một lần từ âm sang dương khi qua điểm \(x = 3\) (hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3\)), nên hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị.

Chọn đáp án: D

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} + 4\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).

Ta có đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 10x\).

Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {3x - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \frac{{10}}{3}\).

• Giá trị \(x = 0\) thuộc đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).
• Giá trị \(x = \frac{{10}}{3} \approx 3,33\) không thuộc đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm tới hạn:

• \(f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 5 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 4 = - 1 - 5 + 4 = - 2\).
• \(f\left( 0 \right) = {0^3} - 5 \cdot {0^2} + 4 = 4\).
• \(f\left( 3 \right) = {3^3} - 5 \cdot {3^2} + 4 = 27 - 45 + 4 = - 14\).

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) là \(4\) tại \(x = 0\).

Chọn đáp án: A

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 3\).

Giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 1\).

Xét dấu đạo hàm ta thấy đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm \(x = - 1\).

Vậy điểm cực đại của hàm số là \({x_0} = - 1\).

Chọn đáp án: B