Chứng minh rằng: 13 + 23 + 33 +....+ n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2.

Câu hỏi:

10/07/2026 21

Chứng minh rằng:

1³ + 2³ + 3³ +....+ n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta cần chứng minh: 1³ + 2³ + 3³ +....+ n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)² (*)

Với n = 1 ta có 1³ = 1² (đúng) nên (*) đúng.

Giả sử (*) đúng với n = k tức là:

1³ + 2³ + 3³ +...+ k³= (1 + 2 + ... + k)² (đúng)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1.

Tức là ta cần chứng minh:

1³ + 2³ + 3³ +...+ k³ + (k + 1)³ = (1 + 2 + ... + k + 1)².

Thật vậy, ta có:

1³ + 2³ + 3³ +...+ k³ + (k + 1)³

= (1 + 2 + 3 + ... + k)² + (k + 1)³

= [k(k + 1) : 2]² + (k + 1)³

\[ = {\left( {k + 1} \right)^2}\left( {\frac{{{k^2}}}{4} + k + 1} \right) = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)}}{4}\]

\[ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 2k + 2k + 4} \right)}}{4}\]

\[ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left[ {k\left( {k + 2} \right) + 2\left( {k + 2} \right)} \right]}}{4}\]

\[ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {k + 2} \right)\left( {k + 2} \right)}}{4}\]

\[ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\]

\[ = {\left[ {\frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}} \right]^2}\]

Mặt khác ta cũng có:

1 + 2 + 3 + 4 +...+ k + k + 1 \( = \frac{{\left( {k + 1 + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}{2}\)\( = \frac{{\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}}{2}\)

Do đó (1 + 2 + 3 + ... + k + 1)² \( = {\left[ {\frac{{\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}}{2}} \right]^2}.\)

Vậy 1³ + 2³ + 3³ +...+ n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)².

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm x, biết:

1 + 35 + ... + x = 3200 (x là số lẻ).

Xem đáp án

Lời giải

1 + 35 + ... + x = 3200

(x ‒ 1) : 34 + 1(x + 1) : 2 = 3200

(x ‒ 1) : 34 + (x + 1) : 2 = 3200

(x ‒ 1)(34 ‒ 2) = 3200

\[x - 1 = \frac{{3200}}{{32}}\]

x ‒ 1 = 100

x = 100 + 1 = 101.

Vậy x = 101.

Câu 2

Tìm x, biết:

\[\frac{1}{2} - \left( {x + \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{6}\]

Xem đáp án

Lời giải

\[\frac{1}{2} - \left( {x + \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{6}\]

\[x + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{5}{6}\]

\[x + \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}\]

\[x = - \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\]

\[x = - \frac{2}{3}\]

Vậy \[x = - \frac{2}{3}.\]

Câu 3