Tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(5{\rm{cm}}\) có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu? 

Phương pháp giải:

Vì đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí \(O\left( {0;0;0} \right)\) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa \(600\) km nên ranh giới vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng \(600\) km.

Giải chi tiết:

Ranh giới vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) có bán kính bằng \(R = 600\) có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 360000\).

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đổi cơ số \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( A \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{2^{ - 1}}}}\left( A \right) = - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( A \right)\):

Áp dụng quy tắc hiệu hai logarit \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( A \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( B \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {\frac{A}{B}} \right)\):

Giải chi tiết:

ĐKXĐ:

\({x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\) hoặc \(x < - 1\)

\(x + 5 > 0 \Leftrightarrow x > - 5\)

Kết hợp lại: \(x \in \left( { - 5; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Phương trình ban đầu:

                      \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 1} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 5} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3\)

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 1} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + 5} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3\)

       \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 5}}} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3\)

Suy ra:

                                   \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 5}} = 3\)

                                 \({x^2} - 1 = 3\left( {x + 5} \right)\)

                                            \({x^2} - 1 = 3x + 15\)

\(\begin{array}{l}{x^2} - 3x - 16 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{3 + \sqrt {73} }}{2}\left( {TM} \right)\\{x_2} = \frac{{3 - \sqrt {73} }}{2}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Theo định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\), tổng hai nghiệm là:

                \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 3}}{1} = 3\)

Ta có: \(P = {2^{{x_1} + {x_2}}} = {2^3} = 8.\)