Cho hình tứ diện \(ABCD\) có \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), biết \(AC = AD = 4{\rm{cm}}\), \(AB = 3{\rm{cm}}\), \(BC = 5{\rm{cm}}\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). 

Phương pháp giải:

Vì đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí \(O\left( {0;0;0} \right)\) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa \(600\) km nên ranh giới vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng \(600\) km.

Giải chi tiết:

Ranh giới vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) có bán kính bằng \(R = 600\) có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 360000\).

Phương pháp giải: Lấy \(y\) chia \(y'\) ta được dư là đường thẳng đi qua \(2\) điểm cực trị.

Giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 3\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x\)

Hàm số có \(2\) cực trị \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1 \ne 0}\\{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne - 1}\\{m \ne - 2}\end{array}} \right.\)

Lấy \(y\) chia \(y'\) ta được:

\(y = \left[ {3\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x} \right]\left( {\frac{1}{3}x - \frac{{m + 2}}{{9\left( {m + 1} \right)}}} \right) - \frac{2}{9}\frac{{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}}{{\left( {m{\rm{ + }}1} \right)}}x + 3m - 2\)

Do đó đường thẳng qua \(2\) điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình

\(d:y = - \frac{2}{9}\frac{{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}}{{\left( {m{\rm{ + }}1} \right)}}x + 3m - 2\)

\(d \cap Ox = A\left( {\frac{{9\left( {3m - 2} \right)\left( {m + 1} \right)}}{{2{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}};0} \right),d \cap Oy = B\left( {0;3m - 2} \right)\left( {m > \frac{2}{3}} \right)\).                                               

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {3m - 2} \right)}^2}\left( {m + 1} \right)}}{{{{\left( {m{\rm{ + }}2} \right)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow 9{m^3} - 4{m^2} - 12m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \frac{2}{9} + \frac{{4\sqrt 7 }}{9}}\\{m = \frac{2}{9} - \frac{{4\sqrt 7 }}{9}}\\{m = 0}\end{array}} \right.\).

Vậy tồn tại \(1\) số dương \(m\) thỏa bài toán.