Ở \(0^\circ {\rm{C}}\), sự mất nhiệt \(H\) (tính bằng Kcal/m²h, ở đây Kcal là kilocalories và 1 Kcal = 1000 calo) từ cơ thể của một người có thể được mô hình hoá bằng công thức \(H = 33\left( {10\sqrt v - v + 10,45} \right)\), trong đó \(v\) là tốc độ gió (tính bằng m/s) (Theo sách Brief Calculus: An Applied Approach, 8^th edition, Congage Learning, 2009). Tốc độ mất nhiệt tăng khi \(v \in \left( {a;b} \right)\), (đơn vị m/s). Tính \(a + b\)?

Đáp án:

Vận tốc thực tế của thiết bị dưới tác động của dòng hải lưu là tổng của hai vectơ vận tốc:

\({\vec v_{{\rm{thuc}}}} = \vec v + \vec w = \left( {11 + 4;7 + 2; - 4 + 0} \right) = \left( {15;9; - 4} \right)\).

Tốc độ của thiết bị là độ dài của vectơ vận tốc thực tế:

\(\left| {{{\vec v}_{{\rm{thuc}}}}} \right| = \sqrt {{{15}^2} + {9^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {225 + 81 + 16} = \sqrt {322} \approx 17,944{\rm{\;km/h}}\).

Làm tròn đến hàng phần mười (hàng phần chục) ta được \(17,9\).

Đáp án: 17,9.

a) Sai: Quan sát đồ thị, hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 0\) (giá trị cực đại \(y = 2\)) và đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2\) (giá trị cực tiểu \(y = - 2\)).

b) Đúng: Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng nằm ngang \(y = m\). Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng \(y = m\) phải cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt, tức là: \( - 2 < m < 2\).

Vì \(m \in \mathbb{R}\) và \(m\) là số nguyên nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\). Có tất cả 3 giá trị nguyên thỏa mãn.

c) Sai: Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), đồ thị hàm số đi xuống từ \(x = 0\) đến \(x = 2\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\). Do đó hàm số không thể đồng biến trên toàn bộ khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\).

d) Sai: Đặt \(t = 2\sin x + 1\). Vì \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\sin x \le 2 \Rightarrow - 1 \le t \le 3\).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).

Dựa vào đồ thị hàm số:

Khi \(t \in \left[ { - 1;3} \right]\), điểm cực đại là \(\left( {0;2} \right)\) và tại biên \(t = 3\) đồ thị đi lên đạt giá trị \(f\left( 3 \right) = 2\) (theo đường nét đứt đối xứng trên đồ thị). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(M = 2\).

Điểm cực tiểu trên đoạn là \(\left( {2; - 2} \right)\), tại biên \(t = - 1\) ta thấy giá trị \(f\left( { - 1} \right) = - 2\). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(m = - 2\).

Do đó \(M + m = 2 + \left( { - 2} \right) = 0 \ne 5\).