Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2; - 1;3} \right)\), \(B\left( {1;2; - 1} \right)\), \(C\left( { - 4;7;5} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 6\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Khi đó \(BM = \sqrt {30} \).
Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\) là điểm sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành. Khi đó \(a + b + c = 10\).
Tia phân giác trong góc A cắt \(BC\) tại điểm \(I\). Khi đó \(OI = \frac{{\sqrt {134} }}{3}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) SAI. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 6;8;2} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 6} \right) + 3 \cdot 8 + \left( { - 4} \right) \cdot 2 = 6 + 24 - 8 = 22 \ne 6\).
b) ĐÚNG. Tọa độ trung điểm \(M\) của \(AC\):
\({x_M} = \frac{{2 + \left( { - 4} \right)}}{2} = - 1,\quad {y_M} = \frac{{ - 1 + 7}}{2} = 3,\quad {z_M} = \frac{{3 + 5}}{2} = 4 \Rightarrow M\left( { - 1;3;4} \right)\).
Tính độ dài \(BM\) với \(B\left( {1;2; - 1} \right)\):
\(BM = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {5^2}} = \sqrt {4 + 1 + 25} = \sqrt {30} \).
c) ĐÚNG. Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3; - 4} \right)\); \(\overrightarrow {DC} = \left( { - 4 - a;7 - b;5 - c} \right)\). Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l} - 4 - a = - 1\\7 - b = 3\\5 - c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 4\\c = 9\end{array} \right.\].
Tổng \(a + b + c = - 3 + 4 + 9 = 10\).
d) ĐÚNG. Ta có \(AB = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {1 + 9 + 16} = \sqrt {26} \); \(AC = \sqrt {104} = 2\sqrt {26} \).
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác: \(\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {26} }}{{2\sqrt {26} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \overrightarrow {IC} = - 2\overrightarrow {IB} \).
Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 4 - x = - 2\left( {1 - x} \right)\\7 - y = - 2\left( {2 - y} \right)\\5 - z = - 2\left( { - 1 - z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{2}{3}}\\\begin{array}{l}y = \frac{{11}}{3}\\z = 1\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};1} \right)\).
Tính độ dài \(OI\): \(OI = \sqrt {{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{11}}{3}} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {\frac{4}{9} + \frac{{121}}{9} + \frac{9}{9}} = \sqrt {\frac{{134}}{9}} = \frac{{\sqrt {134} }}{3}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Tìm giá trị đại diện \({x_i}\) của mỗi nhóm:
- Nhóm 1: \({x_1} = 152\), tần số \({n_1} = 25\).
- Nhóm 2: \({x_2} = 156\), tần số \({n_2} = 50\).
- Nhóm 3: \({x_3} = 160\), tần số \({n_3} = 200\).
- Nhóm 4: \({x_4} = 164\), tần số \({n_4} = 175\).
- Nhóm 5: \({x_5} = 168\), tần số \({n_5} = 50\).
Tổng số học sinh \(n = 500\).
Tính số trung bình cộng \(\bar x\): \(\bar x = \frac{{25 \cdot 152 + 50 \cdot 156 + 200 \cdot 160 + 175 \cdot 164 + 50 \cdot 168}}{{500}}\)\( = 161,4{\rm{\;cm}}\).
Tính phương sai \({s^2}\):
\({s^2} = \frac{{25{{\left( {152 - 161,4} \right)}^2} + 50{{\left( {156 - 161,4} \right)}^2} + 200{{\left( {160 - 161,4} \right)}^2} + 175{{\left( {164 - 161,4} \right)}^2} + 50{{\left( {168 - 161,4} \right)}^2}}}{{500}}\)\( = 14,84\).
Tính độ lệch chuẩn \(s\): \(s = \sqrt {14,84} \approx 3,85{\rm{\;cm}}\).
Đáp án: 3,85.
Lời giải
Đáp án:
Vì điểm \(C \in \left( {Oxy} \right)\) nên cao độ của \(C\) bằng \(0\), tức là \(p = 0 \Rightarrow C\left( {m;n;0} \right)\).
Ta có các vectơ: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 10;4; - 2} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {m - 2;n - 3;1} \right)\).
Để ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương. Do đó tồn tại số thực \(k\) sao cho \(\overrightarrow {AC} = k \cdot \overrightarrow {AB} \), tức là \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 = - 10k\\n - 3 = 4k\\1 = - 2k\end{array} \right. \Rightarrow k = - \frac{1}{2}\).
Thay \(k = - \frac{1}{2}\) ngược lại hệ phương trình để tìm \(m\) và \(n\):
\(m - 2 = - 10 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 5 \Rightarrow m = 7\)
\(n - 3 = 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 2 \Rightarrow n = 1\)
Vậy tọa độ điểm \(C\) là \(\left( {7;1;0} \right)\), nghĩa là \(m = 7,n = 1,p = 0\).
Giá trị của biểu thức \(m + n + p\) là: \(m + n + p = 7 + 1 + 0 = 8\).
Đáp án: 8.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\left( {2; + \infty } \right)\).
B. \(\left( { - 2;0} \right)\).
C. \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
D. \(\left( {0;2} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập